Razionalizzazione, una vera manna dal cielo

[fabioamd87]

a quanto pare usare questo metodo matematico aiuta a tirarci fuori da tante situazioni spinose...

un esercizio apparentemente irrisolvibile

successione per x che tende ad infinito:


$log(sqrt(x)+2)/x

il logaritomo è base 5, razionalizzando ottengo

$log((x-4)/(sqrt(x)-2))

che usando le proprietà di differenza del logaritmo

$log(x-4)/x-log(sqrt(x)-2)/x

che per x che tende ad infinito dovrebbero tendere entrambe a zero...

il risultato si trova, voglio dire, posso razionalizzare sia tutta un equazione, sia un pezzo e sia un argomento di una funzione?

dove questo metodo non si può utilizzare?

[Martino]

"fabioamd87":$log((x-4)/sqrt(x)-2)$

In realta' sarebbe $log((x-4)/(sqrt(x)-2))$.

il risultato si trova, voglio dire, posso razionalizzare sia tutta un equazione, sia un pezzo e sia un argomento di una funzione?

Certo, ovviamente.

dove questo metodo non si può utilizzare?

Non capisco la domanda: ogniqualvolta hai un'espressione razionalizzabile la razionalizzi (se cio' ti e' utile), cosa importa se e' o no argomento di una funzione?

E comunque, come mai il limite di $(log(sqrt{x}+2))/x$ per $x to oo$ ti appare difficile mentre il limite di $(log(sqrt{x}-2))/x$ ti appare immediato? Io non vedo una gran differenza di difficolta' tra questi due limiti.

[fabioamd87]

si li ho saltato una parantesi

cmq cavolo ora che ci penso è vero quindi era un limite immediato perche bastava guardare il logaritmo che tendeva ad infinito piu lentamente?

[Martino]

"fabioamd87":cmq cavolo ora che ci penso è vero quindi era un limite immediato perche bastava guardare il logaritmo che tendeva ad infinito piu lentamente?

Diciamo che un limite per $x to oo$ di $log(sqrt(x)+a)/x$ con $a in RR$ e' zero per la ragione che preferisci, per esempio, come hai detto, perche' il logaritmo e' piu' lento dei polinomi (io per sicurezza preferisco sempre controllare con Hopital). La costante $a$ in questo caso non ha nessun ruolo quando $x to oo$.

[fabioamd87]

volendo usare gli o piccoli questo limite fà o(x) giusto?

[Martino]

"fabioamd87":volendo usare gli o piccoli questo limite fà o(x) giusto?

Non capisco cosa vuoi dire. Comunque procedi quel limite farà sempre zero, non capisco cosa vuol dire che un limite "fa o(x)". Perché $o(x)$ è un insieme di funzioni, non un numero.

Se vuoi dire che $log(sqrt(x)+2)/x$ è un $o(x)$ per $x to oo$, sono d'accordo. Ma in realtà è anche un $o(1)$.

[gugo82]

"fabioamd87":un esercizio apparentemente irrisolvibile

successione per x che tende ad infinito:


$log(sqrt(x)+2)/x

il logartimo è base 5[...]

In realtà lo sanno risolvere anche gli studenti del 5° superiore senza ricorrere alla razionalizzazione.
Moltiplicando e dividendo per $sqrtx +2$ si trova:

$lim_(x\to + oo) (log_5(sqrtx +2))/x=lim_(x\to +oo) (log_5(sqrtx +2))/(sqrtx +2)*(sqrtx +2)/x=0*0=0$

con il primo zero ottenuto dal limite fondamentale $lim_(y\to +oo) (log_5y)/y=0$ con la sostituzione $y=sqrt(x) +2$, ed il secondo zero ottenuto come somma dei limiti.

"fabioamd87":[...] razionalizzando ottengo

$log((x-4)/(sqrt(x)-2))

che usando le proprietà di differenza del logaritmo

$log(x-4)/x-log(sqrt(x)-2)/x

che per x che tende ad infinito dovrebbero tendere entrambe a zero...

Come mai asserisci che $lim_(xto +oo)log(sqrt(x)-2)/x=0$ visto che questo (a meno del segno del coefficiente $2$) è proprio lo stesso limite che ritieni sia irrisolvibile?
Cambiato idea all'improvviso?