Rappresentazioni intero come somma di quadrati
Ciao, amici! Trovo enunciato* un teorema di teoria dei numeri secondo cui "il numero delle rappresentazioni di un intero $n$ some somma dei quadrati di due interi è eguale al quadruplo del numero che si ottiene facendo la differenza tra il numero dei divisori di $n$ della forma $4k+1$ e il numero dei divisori della forma $4k+3$".
Non ne trovo dimostrazioni in rete. Sperando di avere gli strumenti per capirla, qualcuno ne saprebbe suggerire una o indicare qualche link?
*D. Hilbert, Geometria intuitiva.
Non ne trovo dimostrazioni in rete. Sperando di avere gli strumenti per capirla, qualcuno ne saprebbe suggerire una o indicare qualche link?
*D. Hilbert, Geometria intuitiva.
Risposte
Dato $n$, il numero di rappresentazioni del tipo $n = a^2 + b^2$ e’ uguale
al numero di elementi $a+bi$ di $ZZ$ di norma $(a+bi)(a-bi)=n$.
Poiche’ $\#ZZ^{\times}=4$, questo e’ uguale a $4r(n)$ dove $r(n)$ e’ il numero
di “elementi a meno di unita’” di norma $n$.
Grazie alla fattorizzazione unica in $ZZ$, la funzione $r(n)$ e’
moltiplicativa: si ha che $r(nm) = r(n)r(m)$ se $mcd(n,m)=1$.
Per $k=1,3$ sia $d_k(n)$ il numero di divisori positivi di $n$ congrui a $k$ mod $4$.
E’ facile vedere che anche $d_1(n) - d_3(n)$ e’ una funzione moltiplicativa.
Basta quindi dimostrare che $r(n) = d_1(n) - d_3(n)$ per $n=p^k$ e $p$ e’ un numero
primo. E questo si fa caso per caso: $p=2$, $p= 1$ mod $4$ e $p=3$ mod $4$.
Dovrebbe essere $1$, $k+1$ e $\epsilon(k)$ rispettivamente,
dove $\epsilon(k) = 0$ per $k$ dispari e $\epsilon(k) =1$ per $k$ pari.
al numero di elementi $a+bi$ di $ZZ$ di norma $(a+bi)(a-bi)=n$.
Poiche’ $\#ZZ^{\times}=4$, questo e’ uguale a $4r(n)$ dove $r(n)$ e’ il numero
di “elementi a meno di unita’” di norma $n$.
Grazie alla fattorizzazione unica in $ZZ$, la funzione $r(n)$ e’
moltiplicativa: si ha che $r(nm) = r(n)r(m)$ se $mcd(n,m)=1$.
Per $k=1,3$ sia $d_k(n)$ il numero di divisori positivi di $n$ congrui a $k$ mod $4$.
E’ facile vedere che anche $d_1(n) - d_3(n)$ e’ una funzione moltiplicativa.
Basta quindi dimostrare che $r(n) = d_1(n) - d_3(n)$ per $n=p^k$ e $p$ e’ un numero
primo. E questo si fa caso per caso: $p=2$, $p= 1$ mod $4$ e $p=3$ mod $4$.
Dovrebbe essere $1$, $k+1$ e $\epsilon(k)$ rispettivamente,
dove $\epsilon(k) = 0$ per $k$ dispari e $\epsilon(k) =1$ per $k$ pari.
$\infty$ grazie!!! Bellissima spiegazione...!
Per calcolare \(r(p^k)\) basta quindi studiare il comportamento di $r$ diciamo nel primo quadrante del piano complesso privato dell'asse immaginario.
Non riesco a verificare i valori \(r(p^k)=d_1(p^k)-d_3(p^k)\) per \(p\equiv 1\text{ mod }(4)\) e \(p\equiv 3\text{ mod }(4)\): come si giunge a $k+1$ e \(\varepsilon(k)\)?
In particolare avrei detto che anche per \(p\equiv 3\text{ mod }(4)\), cioè \(p=3+4m,m\in\mathbb{Z}\), valga \(r(p^k)=r((3+4m)^k)\geq 1\) perché \(|\pm(3+4m)^k|=|\pm i(3+4m)^k|=(3+4m)^k\): dove sbaglio?
Grazie di cuore ancora!!!
Per calcolare \(r(p^k)\) basta quindi studiare il comportamento di $r$ diciamo nel primo quadrante del piano complesso privato dell'asse immaginario.
Non riesco a verificare i valori \(r(p^k)=d_1(p^k)-d_3(p^k)\) per \(p\equiv 1\text{ mod }(4)\) e \(p\equiv 3\text{ mod }(4)\): come si giunge a $k+1$ e \(\varepsilon(k)\)?
In particolare avrei detto che anche per \(p\equiv 3\text{ mod }(4)\), cioè \(p=3+4m,m\in\mathbb{Z}\), valga \(r(p^k)=r((3+4m)^k)\geq 1\) perché \(|\pm(3+4m)^k|=|\pm i(3+4m)^k|=(3+4m)^k\): dove sbaglio?
Grazie di cuore ancora!!!
La norma di $p^m$ e' $p^{2m}$, non $p^m$. E' questo il problema?
Grazie, Ludwig! 
Che lapsus: la norma di \(a+ib\), \(a,b\in\mathbb{Z}\), in \(\mathbb{Z}\) è \(a+ib\mapsto a^2+b^2\)! Abbi tanta pazienza, ma non riesco ancora a vedere come si giunge a $1,k+1$ e \(\varepsilon(k)\)...
Per $p=2$ forse, grossolanamente parlando, riesco a rendermi conto che gli \(z\in\mathbb{Z}\) di norma $2^k$, cioè tali che \(|z|=2^{k/2}\) sono per $k=1,2,...$ le "diagonali e alternativamente i lati dei quadrati del piano complesso con un vertice in 0" di lato \(1,2,2,2^2,2^2,...\), ma negli altri due casi non trovo alcun metodo per giungere a $k+1$ e \(\varepsilon(k)\)...
$\infty$ grazie ancora...!
Che lapsus: la norma di \(a+ib\), \(a,b\in\mathbb{Z}\), in \(\mathbb{Z}\) è \(a+ib\mapsto a^2+b^2\)! Abbi tanta pazienza, ma non riesco ancora a vedere come si giunge a $1,k+1$ e \(\varepsilon(k)\)...Per $p=2$ forse, grossolanamente parlando, riesco a rendermi conto che gli \(z\in\mathbb{Z}\) di norma $2^k$, cioè tali che \(|z|=2^{k/2}\) sono per $k=1,2,...$ le "diagonali e alternativamente i lati dei quadrati del piano complesso con un vertice in 0" di lato \(1,2,2,2^2,2^2,...\), ma negli altri due casi non trovo alcun metodo per giungere a $k+1$ e \(\varepsilon(k)\)...
$\infty$ grazie ancora...!
Dai! 
Hai provato $k=1$? In altre parole, se $p$ e' congruo a $1$ mod $4$,
ci sono, a meno di unita', due elementi in $ZZ$ di norma $p$.
Invece, per primi $p\equiv3$ mod $4$ non esistono elementi di norma $p$.
Per esempio, gli elementi $2+3i$ e $3+2i$ hanno norma $13$ e
non ce ne sono altri nel primo quadrante.
Invece, non esistono $a,b\in ZZ$ con $a^2+b^2=11$.
Hai provato $k=1$? In altre parole, se $p$ e' congruo a $1$ mod $4$,
ci sono, a meno di unita', due elementi in $ZZ$ di norma $p$.
Invece, per primi $p\equiv3$ mod $4$ non esistono elementi di norma $p$.
Per esempio, gli elementi $2+3i$ e $3+2i$ hanno norma $13$ e
non ce ne sono altri nel primo quadrante.
Invece, non esistono $a,b\in ZZ$ con $a^2+b^2=11$.
"Stickelberger":Già: chiamata \(\delta\) la norma, secondo la notazione del mio testo di algebra, il Bosch, constato che anche \(\delta(1+2i)=\delta(i+2)=5\equiv 1\text{ mod }(4)\), \(\delta(1+4i)=\delta(4+i)=17\equiv 1\text{ mod }(4)\), ma non mi riesce di trovare un pattern ripetitivo per un generico \(p\equiv1\text{ mod }(4)\).
Hai provato $k=1$? In altre parole, se $p$ e' congruo a $1$ mod $4$, ci sono, a meno di unita', due elementi
L'unica cosa che noto è che se $p=1+4m$ con $m$ quadrato di un naturale allora ci sono (almeno, ma non riesco a sopprimere questo "almeno") due elementi di \(\mathbb{Z}\) di norma $p$: \(\delta(1+2i\sqrt{m})=\delta(2\sqrt{m}+i)=p\), ma d'altra parte non credo proprio che tutti i primi $>17$ congruenti a 1 siano di questa forma
(Tanto meno per \(p^k\equiv1\text{ mod }(4)\), dove, ammesso di aver dimostrato che valga per $k=1$, l'induzione non mi sembra giovare...)
"Stickelberger":Mmh... qui sono in mare ancor più alto...
Invece, per primi $p\equiv3$ mod $4$ non esistono elementi di norma $p$.
Grazie di cuore ancora...
Un pattern non c'e', ma e' vero lo stesso. Si tratta del teorema classico che dice che un
primo $p$ dispari e' congruo a $1$ modulo $4$ se e solo se $p=a^2+b^2$ per certi $a,b\in ZZ$.
vedi [url]http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares[/url] e
http://www.math.uga.edu/~pollack/4400s13/gaussian.pdf.
primo $p$ dispari e' congruo a $1$ modulo $4$ se e solo se $p=a^2+b^2$ per certi $a,b\in ZZ$.
vedi [url]http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares[/url] e
http://www.math.uga.edu/~pollack/4400s13/gaussian.pdf.
$\aleph_1$ grazie per la pazienza!!! Mi sa che occorrano conoscenze che non ho. Ho seguito felicemente la dimostrazione di Eulero finché non ho trovato che the $k$th differences of the sequence $1^k, 2^k, 3^k,...$ are all equal to $k!$, cosa che non saprei proprio dimostrare. Apro un post ad hoc...
Supponiamo quindi di aver dimostrato che i due valori per \(p\equiv 1\text{ mod }4\) e \(p\equiv 3\text{ mod }4\) di \(r(p^k)\) valgono per $k=1$. Per induzione sai se si può procedere?
[size=85]P.S.: Questo teorema che mi sta affascinando sempre di più e che non mi sembra affatto di immediata dimostrazione viene usato da Hilbert in Geometria intuitiva per dimostrare a sua volta che $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi/4$. Una via che troverei più semplice sarebbe con la convergenza della serie di Maclaurin di \(\arctan x\) su \((-1,1)\) e il teorema di Abel, ma trovo estremamente avvincente percorrere anche strade alternative...[/size]
Supponiamo quindi di aver dimostrato che i due valori per \(p\equiv 1\text{ mod }4\) e \(p\equiv 3\text{ mod }4\) di \(r(p^k)\) valgono per $k=1$. Per induzione sai se si può procedere?
[size=85]P.S.: Questo teorema che mi sta affascinando sempre di più e che non mi sembra affatto di immediata dimostrazione viene usato da Hilbert in Geometria intuitiva per dimostrare a sua volta che $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi/4$. Una via che troverei più semplice sarebbe con la convergenza della serie di Maclaurin di \(\arctan x\) su \((-1,1)\) e il teorema di Abel, ma trovo estremamente avvincente percorrere anche strade alternative...[/size]
Credo che nella dimostrazione del fatto che un primo $p$ possa essere scritto come somma di due quadrati se e solo se è $p=2$ o è $p$ è congruo a $1$ modulo $4$ l'unica cosa non proprio elementare che si usa sia il Teorema di Wilson. Purtroppo le dispense su cui io ho studiato la dimostrazione non sono più online (o sono io che non le trovo, controllerò meglio appena ho un po' più di tempo).
Qualche info in più può essere trovata nei Teoremi 5.1 e 5.2 di queste dispense.
Qualche info in più può essere trovata nei Teoremi 5.1 e 5.2 di queste dispense.
Grazie di cuore anche a te!!! Bello il teorema di Wilson e addirittura alla mia portata.
Mi rimane il dubbio di come si possa poi procedere per dimostrare che \(r(p^k)=k+1\) per \(p\equiv 1\text{ mod }4\) e \(r(p^k)=\varepsilon (k)\) per \(p\equiv 3\text{ mod }4\). Per induzione, direi, ma non riesco a ricavarne nulla... Le proposizioni (prima, seconda,...) che Eulero ha usato per dimostrare che un primo è somma di due quadrati se e solo se congruente a \(1\text{ mod }4\) non mi sembrano utili a tal fine, anche se in un primo tempo speravo lo fossero...
Mi rimane il dubbio di come si possa poi procedere per dimostrare che \(r(p^k)=k+1\) per \(p\equiv 1\text{ mod }4\) e \(r(p^k)=\varepsilon (k)\) per \(p\equiv 3\text{ mod }4\). Per induzione, direi, ma non riesco a ricavarne nulla... Le proposizioni (prima, seconda,...) che Eulero ha usato per dimostrare che un primo è somma di due quadrati se e solo se congruente a \(1\text{ mod }4\) non mi sembrano utili a tal fine, anche se in un primo tempo speravo lo fossero...
La mia tesina triennale, http://poisson.phc.unipi.it/~daurizio/asup2pluskbsup2.pdf, dovrebbe rispondere ai tuoi interrogativi e sperabilmente accenderne di nuovi 
Wow:una tesi dedicata all'argomento (e affini)!!! $\infty$ grazie!
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