Rappresentazioni del gruppo alterno A4
Ciao a tutti, sono alle prese (di nuovo) con degli esercizi sui G-moduli e gli A-moduli.
In un esercizio mi viene chiesto di trovare la tavola dei caratteri di $A_4$, e le corrispondenti rappresentazioni irriducibili. E ok, l'ho fatto.
Ne viene fuori che ce ne sono: tre di dimensione 1 e una di dimensione 3.
In un altro esercizio mi viene chiesto di scrivere un isomorfismo (di anelli) tra $C[A_4]$, cioè l'algebra gruppo su $C$ di $A_4$, e una somma diretta di opportuni anelli di matrici quadrate; dove per opportuni si intende che va stabilito quanti sono gli addendi di questa somma diretta e che dim. hanno. Ovvero trovare $n_1,...,n_t$:
$ C[A_4] \sim prod_(i = 1)^(t) M_{n_i} (C) $ .
A me viene naturale dire che $ C[A_4] \sim C xx C xx C xx M_3(C) $ , e scriverei esplicitamente l'isomorfismo assegnando ad ogni elementi $x in A_4$ il vettore che ha per componenti le immagini di $x$ rispetto alle varie rappresentazioni irriducibili, estendendo poi per $C-$linearità.
Tutto ciò è corretto? Mi sembra troppo semplice.
C'è poi un'ulteriore domanda in cui mi chiede di dire chi sono i $C[A_4]-$moduli semplici.. ma non sono esattamente gli $A_4-$moduli irriducibili su $C$? Ovvero C con l'azione indotta dalla (rispettivamente) prima, seconda, terza rappresentazione irriducibile, e $C^3$ con l'azione indotta dalla quarta rappr. irriducibile.
Mi piacerebbe avere il vostro parere.
Grazie,
Claudia
In un esercizio mi viene chiesto di trovare la tavola dei caratteri di $A_4$, e le corrispondenti rappresentazioni irriducibili. E ok, l'ho fatto.
Ne viene fuori che ce ne sono: tre di dimensione 1 e una di dimensione 3.
In un altro esercizio mi viene chiesto di scrivere un isomorfismo (di anelli) tra $C[A_4]$, cioè l'algebra gruppo su $C$ di $A_4$, e una somma diretta di opportuni anelli di matrici quadrate; dove per opportuni si intende che va stabilito quanti sono gli addendi di questa somma diretta e che dim. hanno. Ovvero trovare $n_1,...,n_t$:
$ C[A_4] \sim prod_(i = 1)^(t) M_{n_i} (C) $ .
A me viene naturale dire che $ C[A_4] \sim C xx C xx C xx M_3(C) $ , e scriverei esplicitamente l'isomorfismo assegnando ad ogni elementi $x in A_4$ il vettore che ha per componenti le immagini di $x$ rispetto alle varie rappresentazioni irriducibili, estendendo poi per $C-$linearità.
Tutto ciò è corretto? Mi sembra troppo semplice.
C'è poi un'ulteriore domanda in cui mi chiede di dire chi sono i $C[A_4]-$moduli semplici.. ma non sono esattamente gli $A_4-$moduli irriducibili su $C$? Ovvero C con l'azione indotta dalla (rispettivamente) prima, seconda, terza rappresentazione irriducibile, e $C^3$ con l'azione indotta dalla quarta rappr. irriducibile.
Mi piacerebbe avere il vostro parere.
Grazie,
Claudia
Risposte
A me sembra che sia giusto. Magari ci penso ancora un po' pero' 
Ciao Martino,
grazie.
Alla fine sono piuttosto sicura che sia tutto giusto, e dovrebbe essere una conseguenza del teorema di Wedderburn (o variazioni sul tema, in testi diversi il toro è preso da corna diverse) in cui si dimostra che quella mappa è biettiva. In particolare credo (non ho studiato la dim.) che la suriettività sia la cosa più rognosa da provare.
Se uno vuole poi descrivere i moduli irriducibili o lo fa come ho scritto sopra oppure lo può fare dando esplicitamente i generatori visti come elementi del modulo regolare, direi lavorando sulle controimmagini (mediante l'isomorfismo di cui sopra) dei vettori della base canonica di $CC xx CC xx CC xx \M_3(CC)$
(Tanti saluti dal principe piano)
grazie.
Alla fine sono piuttosto sicura che sia tutto giusto, e dovrebbe essere una conseguenza del teorema di Wedderburn (o variazioni sul tema, in testi diversi il toro è preso da corna diverse) in cui si dimostra che quella mappa è biettiva. In particolare credo (non ho studiato la dim.) che la suriettività sia la cosa più rognosa da provare.
Se uno vuole poi descrivere i moduli irriducibili o lo fa come ho scritto sopra oppure lo può fare dando esplicitamente i generatori visti come elementi del modulo regolare, direi lavorando sulle controimmagini (mediante l'isomorfismo di cui sopra) dei vettori della base canonica di $CC xx CC xx CC xx \M_3(CC)$
(Tanti saluti dal principe piano)
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