Rappresentazione permutazionale

[matematicus95]

so che dato un gruppo $G$ e un insieme non vuoto $X$ una rappresentazione permutazionale è un omomorfismo $r:G->S_X$, e un'azione è una applicazione $t:(x;g)inX X G->xg in X$ tale che $x1=x$ e $x(g_1g_2)=(xg_1)g_2$, potete spiegarmi perche una azione permutazionale determina una permutazione e il viceversa?

[Frink1]

Se ti dico che un'azione è definita da

\[ G \times X \longrightarrow X \\ \ \ \ \ (g,x) \longrightarrow \phi_g(x) \]

con $\phi_g$ la permutazione in $S_X$ individuata da $g$ tramite $r$?

Prova a dimostrare che questa è un'azione...

[matematicus95]

Se non so come agisce come faccio?

[matematicus95]

up

[Frink1]

"matematicus95":Se non so come agisce come faccio?

Non ne hai bisogno...

Basta verificare le due condizioni che fanno un'azione:
[list=1]
[*:2gkg601y] L'azione (sia essa $A(g,x)$) deve rispettare $A(1,x)=x$. Verifichiamo da definizione, cos'è $\phi_{1_G}(\cdot)$? Sarà l'omomorfismo identitario, quindi effettivamente $\phi_{1_G(x)}=x \ \forall x$[/*:m:2gkg601y]
[*:2gkg601y]Deve valere $A(g,A(h,x))=A(gh,x)$. Usando le leggi di composizione, è subito verificata.[/*:m:2gkg601y][/list:o:2gkg601y]