Rappresentazione decimale dei numeri razionali
Ciao a tutti,
ho un piccolo problema nella comprensione di una dimostrazione. Cito dal libro su cui sto studiando:
Qui sotto dimostra che con l'algoritmo di qui sopra non si ottengono mai numeri con periodo 9
Non riesco a comprendere quale sia l'assurdo. Per quanto mi riguarda $\forall$ n :
1 - 1/10^n < r - c0 < 1 mi risulta corretta
ovvero:
0.99999... [non periodico perchè n è finito] < 0,$\bar{9}$ < 1
Spero possiate aiutarmi a comprendere.
Grazie a tutti.
ho un piccolo problema nella comprensione di una dimostrazione. Cito dal libro su cui sto studiando:
Sia r = p/q \in Q un numero razionale positivo con p > 0, q > 0 interi. Si ha, mediante divisioni
successive:
p/q = c0 + p0/q
p0/q = c1 + p1/10q
p1/q = c2 + p2/10q
... = cn + pn/10q
Qui sotto dimostra che con l'algoritmo di qui sopra non si ottengono mai numeri con periodo 9
Supponiamo per assurdo r=0.$\bar{9}$. Poichè 0 $\leq$ pn < q, dalla 1.2.1 si deduce che per ogni n:
c0 + 9/10 + 9/10^2 + ... + 9/10^n $\leq$ r < c0 + 9/10 + 9/10^2 + ... + 9/10^n + 1/10^n
Poichè 9/10 + 9/10^2 + ... + 9/10^n + 1/10^n = 1, le disuguaglianze precedenti diventano:
$\forall$ n 1 - 1/10^n < r - c0 < 1
o anche:
$\forall$ n 0 < c0 + 1 - r < 1/10^n
il che è assurdo
Non riesco a comprendere quale sia l'assurdo. Per quanto mi riguarda $\forall$ n :
1 - 1/10^n < r - c0 < 1 mi risulta corretta
ovvero:
0.99999... [non periodico perchè n è finito] < 0,$\bar{9}$ < 1
Spero possiate aiutarmi a comprendere.
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao!
Intuitivamente direi che ∀ n, 0 < c0 + 1 - r < 1/10^n
è assurdo xké c0 e r sono "fissati" (nn dipendono da n) quindi posso sempre scegliermi un n sufficientemente grande tale che la disuguaglianza sopra sia falsa..
infatti c0+1-r essendo fissato, e scegliendo un n abbastanza grande, avrò ke il mio c0+1-r è racchiuso tra 0 e un numero piccolo a piacere (<(1/10)^n).
questo è quello ke mi verrebbe da dire per giustificare l'assurdità..sxo sia sufficientemente comprensibile..
Intuitivamente direi che ∀ n, 0 < c0 + 1 - r < 1/10^n
è assurdo xké c0 e r sono "fissati" (nn dipendono da n) quindi posso sempre scegliermi un n sufficientemente grande tale che la disuguaglianza sopra sia falsa..
infatti c0+1-r essendo fissato, e scegliendo un n abbastanza grande, avrò ke il mio c0+1-r è racchiuso tra 0 e un numero piccolo a piacere (<(1/10)^n).
questo è quello ke mi verrebbe da dire per giustificare l'assurdità..sxo sia sufficientemente comprensibile..
0.99999... [non periodico perchè n è finito] < 0,$\bar{9}$ < 1
questo passaggio mi sembra non sia corretto, infatti $0.\bar{9}=1$ ...che ne pensi?
La dimostrazione non è complicata, al massimo se è corretto quello che dico la scrivo dopo...
R
questo passaggio mi sembra non sia corretto, infatti $0.\bar{9}=1$ ...che ne pensi?
La dimostrazione non è complicata, al massimo se è corretto quello che dico la scrivo dopo...
R
Effettivamente Ravok mi ha fatto notare una cosa ke avevi scritto e che mi era sfuggita 
Giustamente come dice lui 0,$\bar{9}$ = 1..
infatti 1/3 = 0,$\bar{3}$, quindi moltiplicando tutto per 3 ottieni esattamente quanto detto da Ravok
questo ti evita di fare quel tipo di dimostrazione in quanto a quel punto potresti semplicemente dire ke se ottenessi numeri con periodo nove nn sarebbero altro ke numeri interi..
Giustamente come dice lui 0,$\bar{9}$ = 1..
infatti 1/3 = 0,$\bar{3}$, quindi moltiplicando tutto per 3 ottieni esattamente quanto detto da Ravok
questo ti evita di fare quel tipo di dimostrazione in quanto a quel punto potresti semplicemente dire ke se ottenessi numeri con periodo nove nn sarebbero altro ke numeri interi..
Vi ringrazio tutti, siete stati preziosi ^^
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