Rapporto aureo espresso come frazione continua infinita

[Pedja1]

Buongiorno!
Qualcuno può provare questa identità:
\[\displaystyle \varphi=\frac{3}{2}+\cfrac{\frac{1}{4}}{2+\cfrac{1}{8+ \cfrac{3}{6+\cfrac{6}{ 16+\cfrac{10 }{ 10+\cfrac{15}{ 24+\cfrac{21}{\cdots}}}}}}} \]
dove \(\varphi\) denota il rapporto aureo.

[otta96]

Ma non si capisce quale dovrebbe essere la regola di questi numeri, i numeratori sono i numeri triangolari dopo un $1/4$ che è un po' a caso ma vabbè, ma i denominatori?

[Pedja1]

"otta96":Ma non si capisce quale dovrebbe essere la regola di questi numeri, i numeratori sono i numeri triangolari dopo un $1/4$ che è un po' a caso ma vabbè, ma i denominatori?

\[a_n =
\begin{cases}
2n, & \text{se }n\text{ è numero dispari} \\
4n, & \text{se }n\text{ è numero pari}
\end{cases}\]

[otta96]

Ah è vero non ci avevo pensato, non so se mi riuscirà risponderti ma ci penso.

[Studente Anonimo]

Ciao, osserva che se $x$ è un numero positivo

$(sqrt(x)-1)(sqrt(x)+1)=x-1$

si può scrivere come (preso da qui)

$sqrt(x) = 1+ (x-1)/(1+sqrt(x))$

Questo permette di scrivere $sqrt(x)$ come frazione continua

$sqrt(x) = 1+(x-1)/(2+(x-1)/(2+...))$

che tra l'altro fornisce un metodo per approssimare $sqrt(x)$ usando frazioni sempre più vicine e permette di calcolare $sqrt(x)$ fino alla cifra decimale voluta.

Nel caso di $phi$ abbiamo $phi=(sqrt(5)+1)/2$ e quindi $phi-1/2 = sqrt(5/4)$. Applicando il ragionamento qui sopra con $x=5/4$ arrivi al risultato.

La cosa non è immediatissima, perché la frazione continua da te proposta contiene gli stessi numeri riformulati ad ogni passo, per esempio

$phi-1/2 = sqrt(5/4) = 1+(1/4)/(2+(1/4)/(2+(sqrt(5/4)-1))) = 1+(1/4)/(2+1/(8+4(sqrt(5/4)-1)))$

Ora bisogna esprimere $4(sqrt(5/4)-1) = 1/(2+(sqrt(5/4)-1))$ come $3/(6+y)$, e risolvendo otteniamo $y=3(sqrt(5/4)-1) = (3/4)/(2+(sqrt(5/4)-1))$, che ora dobbiamo esprimere come $6/(16+z)$ eccetera.

Resta da dimostrare che i numeri ottenuti tramite questo procedimento sono quelli che hai detto, ma questo si dimostra in modo tecnico ma facile per induzione. Poi non escludo che esistano altre soluzioni più brevi.

[axpgn]

Per curiosità, cosa intendi per "soluzioni più brevi"?
Una diversa frazione continua per esprimere la sezione aurea?
So che si può rappresentare con la più "semplice" di tutte

Cordialmente, Alex

[Pedja1]

@Martino Grazie.

[Studente Anonimo]

"axpgn":Per curiosità, cosa intendi per "soluzioni più brevi"?

Un modo meno artificiale di arrivare a quella frazione continua, per esempio non so se esistano modi ben teorizzati di passare da una frazione continua (quella classica in questo caso, con tutti i numeri uguali a 1) a un'altra equivalente.

[axpgn]

Ok, grazie