Rapporti - QUOTO e QUOZIENTE
Salve a tutti,
da qualche giorno ho un problema per la testa che non sono riuscito ancora a risolvere. E ho bisogno di chiarezza!
Riguarda un argomento semplice semplice: i RAPPORTI. Eppure...
Potrete facilmente, rispolverando l'argomento, ritrovare delle definizioni di rapporto come il "QUOTO di due numeri, presi in un certo ordine, con il secondo ovviamente diverso da zero". Ecco appunto, QUOTO... e perché non scrivere semplicemente QUOZIENTE??? Saprete della differenza tra QUOTO e QUOZIENTE, roba da scuola elementare: in sintesi il QUOZIENTE possiamo considerarlo il risultato di una divisione, il QUOTO il risultato di una divisione senza resto.
Ora, se rimaniamo nel campo dei numeri naturali N, tutto molto semplice. Dividiamo ad es. 5 per 2 = 2 con resto di 1 quindi 2 è quoziente. Viceversa 6 : 3 = 2, 2 è quoto.
Se ampliamo il dominio a Q invece, dovremmo considerare anche la virgola nella soluzione, in sostanza la stessa divisione 5 per 2 darebbe quoto 2,5.
Fin qui le conclusioni a cui sono giunto cercando di capire perché vari testi considerassero rapporto ad es. 5/2.
Quando tutto mi sembrava ormai chiaro, ecco spuntare 9/7 o 14/15... numeri decimali illimitati periodici, che vengono considerati da testi di matematica rapporti
Capisco che questi ultimi fanno parte di Q, ma considerarli rapporti, dal momento che hanno resto................... PERCHE'????????????????????????????
(Una possibile soluzione tratta sempre dai testi di matematica può essere quella di considerare la soluzione di un rapporto o come numeri interi o, in alternativa come frazioni. Ergo nel caso di 4:2 il rapporto sarebbe 2, nel caso di 9:7 il rapporto sarebbe 9/7
vabbè, ma una frazione alla fine non è un modo diverso per scrivere un numero razionale???????)
Help me, thx
da qualche giorno ho un problema per la testa che non sono riuscito ancora a risolvere. E ho bisogno di chiarezza!
Riguarda un argomento semplice semplice: i RAPPORTI. Eppure...
Potrete facilmente, rispolverando l'argomento, ritrovare delle definizioni di rapporto come il "QUOTO di due numeri, presi in un certo ordine, con il secondo ovviamente diverso da zero". Ecco appunto, QUOTO... e perché non scrivere semplicemente QUOZIENTE??? Saprete della differenza tra QUOTO e QUOZIENTE, roba da scuola elementare: in sintesi il QUOZIENTE possiamo considerarlo il risultato di una divisione, il QUOTO il risultato di una divisione senza resto.
Ora, se rimaniamo nel campo dei numeri naturali N, tutto molto semplice. Dividiamo ad es. 5 per 2 = 2 con resto di 1 quindi 2 è quoziente. Viceversa 6 : 3 = 2, 2 è quoto.
Se ampliamo il dominio a Q invece, dovremmo considerare anche la virgola nella soluzione, in sostanza la stessa divisione 5 per 2 darebbe quoto 2,5.
Fin qui le conclusioni a cui sono giunto cercando di capire perché vari testi considerassero rapporto ad es. 5/2.
Quando tutto mi sembrava ormai chiaro, ecco spuntare 9/7 o 14/15... numeri decimali illimitati periodici, che vengono considerati da testi di matematica rapporti
Capisco che questi ultimi fanno parte di Q, ma considerarli rapporti, dal momento che hanno resto................... PERCHE'????????????????????????????
(Una possibile soluzione tratta sempre dai testi di matematica può essere quella di considerare la soluzione di un rapporto o come numeri interi o, in alternativa come frazioni. Ergo nel caso di 4:2 il rapporto sarebbe 2, nel caso di 9:7 il rapporto sarebbe 9/7
vabbè, ma una frazione alla fine non è un modo diverso per scrivere un numero razionale???????)Help me, thx
Risposte
Non ho capito bene la questione. I numeri razionali, come dice il nome, sono frazioni, e quindi rapporti. La forma di frazione è il modo più facile e comodo per scriverli perché si evitano espansioni infinite. In altri ambiti può essere scomodo usare la frazione e quindi si usano diversi tipi di espansioni (decimali, in qualche altra base, in frazione continua, e chi più ne ha più ne metta). La divisione $9/7$ in $\QQ$ non ha resto. Il suo "quoto" (parola che non ho mai visto usata al di fuori dei numeri interi) è il razionale $9/7$, o se preferisci è il numero razionale $1.[285714]$ dove le parentesi quadre vogliono rappresentare il periodo.
Insomma, a dire il vero non capisco dov'è il problema. E' forse il cavillo per cui è brutto chiamare "numeri" le divisioni stesse invece che i risultati di tali divisioni?
Insomma, a dire il vero non capisco dov'è il problema. E' forse il cavillo per cui è brutto chiamare "numeri" le divisioni stesse invece che i risultati di tali divisioni?
Dal punto di vista puramente elementare, la scrittura \(\frac{p}{q}\), cioé il rapporto con numeratore \(p\) e denominatore \(q\), è solo un modo diverso di denotare la divisione (cioé proprio tutta l'operazione) con dividendo \(p\) e divisore \(q\). In tal modo, nell'aritmetica degli interi il simbolo \(\frac{p}{q}\) non denota un numero.
Tuttavia, dato che la notazione \(\frac{p}{q}\) è facilmente manipolabile, si è tentati di darle anche un significato numerico. In tal caso \(\frac{p}{q}\) diventa il simbolo usato per denotare il quoto di \(p\) e \(q\), cioé il risultato della divisione del dividendo \(p\) rispetto al divisore \(q\) quando essa abiba resto nullo, cioé \(\frac{p}{q}\) denota l'unico numero intero \(m\) tale che \(p=m\ q\).
Però, non appena si costruiscono i numeri razionali (dando di fatto la possibilità di svolgere ogni divisione senza resto) è naturale fornire alla notazione \(\frac{p}{q}\) il significato di unico numero razionale tale che \(p=m\ q\).
Tuttavia, dato che la notazione \(\frac{p}{q}\) è facilmente manipolabile, si è tentati di darle anche un significato numerico. In tal caso \(\frac{p}{q}\) diventa il simbolo usato per denotare il quoto di \(p\) e \(q\), cioé il risultato della divisione del dividendo \(p\) rispetto al divisore \(q\) quando essa abiba resto nullo, cioé \(\frac{p}{q}\) denota l'unico numero intero \(m\) tale che \(p=m\ q\).
Però, non appena si costruiscono i numeri razionali (dando di fatto la possibilità di svolgere ogni divisione senza resto) è naturale fornire alla notazione \(\frac{p}{q}\) il significato di unico numero razionale tale che \(p=m\ q\).
Vi ringrazio, siete stati d'aiuto. Avevo un po' di confusione in effetti. Probabilmente mi sfuggiva soprattutto il concetto che ogni divisione nell'insieme dei numeri razionali o ancora meglio reali, è sempre senza resto.
Questo suppongo succede perché non bisogna considerare (come facevo io) la differenza tra dividendo e prodotto tra divisore e "quoto" ma bisogna considerare il quoto nel suo insieme di riferimento, ovvero Q o R. Mi spiego meglio, nell'esempio 9/7, la divisione non da resto 2 negli insiemi Q o R in quanto la divisione può continuare dando come risultato 1,285... che è un numero esatto nell'insieme Q o R, numero che si potrebbe anche scrivere come 9/7.
Dico bene?
Questo suppongo succede perché non bisogna considerare (come facevo io) la differenza tra dividendo e prodotto tra divisore e "quoto" ma bisogna considerare il quoto nel suo insieme di riferimento, ovvero Q o R. Mi spiego meglio, nell'esempio 9/7, la divisione non da resto 2 negli insiemi Q o R in quanto la divisione può continuare dando come risultato 1,285... che è un numero esatto nell'insieme Q o R, numero che si potrebbe anche scrivere come 9/7.
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