Ramificazione campo di spezzamento
Ciao a tutti!
Qualcuno sa spiegarmi cosa è la ramificazione di un campo di spezzamento di un polinomio su Q?
Ho provato a cercare un pò su internet, ma non ho trovato una buona spiegazione...
Grazie mille.
Qualcuno sa spiegarmi cosa è la ramificazione di un campo di spezzamento di un polinomio su Q?
Ho provato a cercare un pò su internet, ma non ho trovato una buona spiegazione...
Grazie mille.
Risposte
Assumo che tu abbia le altre conoscenze necessarie a parlare di ramificazione.
Sia [tex]K[/tex] un campo di spezzamento su [tex]\mathbb Q[/tex]. Questo equivale a chiedere che [tex]K/\mathbb Q[/tex] sia un'estensione di Galois.
Sappiamo che [tex]\mathbb Z[/tex] è un dominio di Dedekind (perché un PID), quindi la sua chiusura integrale in [tex]K[/tex], diciamo [tex]R_K[/tex] è ancora un dominio di Dedekind, che come saprai prende il nome di di anello degli interi di [tex]K[/tex]. Ora, se [tex]p \in \mathbb Z[/tex] è un primo, in [tex]R_K[/tex] potremo scrivere
[tex](p) = \mathfrak P_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot \mathfrak P_r^{e_r}[/tex]
dove i [tex]\mathfrak P_i[/tex] sono primi di [tex]R_K[/tex] a due a due distinti e [tex]e_i \ge 1[/tex].
In questo caso, siccome l'estensione è di Galois si può mostrare che [tex]e_i = e_j =: e[/tex] per ogni [tex]i,j[/tex]. Il primo [tex]p[/tex] ramifica se [tex]e > 1[/tex].
La ramificazione del campo (anche se non ho mai sentito esattamente questo termine) potrebbe essere l'insieme dei primi che ramificano. Questi sono sempre in numero finito; infatti, si può dimostrare che un primo ramifica se e solo se divide il discriminante dell'estensione, che è un numero. Siccome c'è un numero finito di divisori, segue la tesi.
Se non è questo, allora ti chiederei di essere un po' più precisa!
Sia [tex]K[/tex] un campo di spezzamento su [tex]\mathbb Q[/tex]. Questo equivale a chiedere che [tex]K/\mathbb Q[/tex] sia un'estensione di Galois.
Sappiamo che [tex]\mathbb Z[/tex] è un dominio di Dedekind (perché un PID), quindi la sua chiusura integrale in [tex]K[/tex], diciamo [tex]R_K[/tex] è ancora un dominio di Dedekind, che come saprai prende il nome di di anello degli interi di [tex]K[/tex]. Ora, se [tex]p \in \mathbb Z[/tex] è un primo, in [tex]R_K[/tex] potremo scrivere
[tex](p) = \mathfrak P_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot \mathfrak P_r^{e_r}[/tex]
dove i [tex]\mathfrak P_i[/tex] sono primi di [tex]R_K[/tex] a due a due distinti e [tex]e_i \ge 1[/tex].
In questo caso, siccome l'estensione è di Galois si può mostrare che [tex]e_i = e_j =: e[/tex] per ogni [tex]i,j[/tex]. Il primo [tex]p[/tex] ramifica se [tex]e > 1[/tex].
La ramificazione del campo (anche se non ho mai sentito esattamente questo termine) potrebbe essere l'insieme dei primi che ramificano. Questi sono sempre in numero finito; infatti, si può dimostrare che un primo ramifica se e solo se divide il discriminante dell'estensione, che è un numero. Siccome c'è un numero finito di divisori, segue la tesi.
Se non è questo, allora ti chiederei di essere un po' più precisa!
Ciao!
Innanzitutto grazie...
Allora, io sto leggendo un articolo per la mia tesi, che riguarda la quadratura delle lunule (è un problema di costruzione con riga e compasso, analogo al più famoso problema della quadratura del cerchio). Nel linguaggio dell'algebra il problema si traduce nello studio del polinomio [tex] $F(y)=(y^m-1)^2-\frac{m}{n} y^{m-n}(y^n-1)^2 $ [\tex]. Si tratta di determinare per quali interni coprimi positivi [tex] $m,n \mbox{ con } m>n$ [\tex] una soluzione del polinomio si riduce alla soluzione di un'equazione quadratica.
Nell'articolo si dice (cito testuali parole) che studiando le proprietà aritmetiche del polinomio e in particolare la ramificazione del campo di spezzamento di F su Q, si riesce a dimostrare che esistono solo 5 lunule quadrabili (ovvero 5 coppie di valori m e n ammissibili).
Non vi è però un accenno di dimostrazione, quindi mi risulta oscuro cosa voglia effettivamente dire....
Innanzitutto grazie...
Allora, io sto leggendo un articolo per la mia tesi, che riguarda la quadratura delle lunule (è un problema di costruzione con riga e compasso, analogo al più famoso problema della quadratura del cerchio). Nel linguaggio dell'algebra il problema si traduce nello studio del polinomio [tex] $F(y)=(y^m-1)^2-\frac{m}{n} y^{m-n}(y^n-1)^2 $ [\tex]. Si tratta di determinare per quali interni coprimi positivi [tex] $m,n \mbox{ con } m>n$ [\tex] una soluzione del polinomio si riduce alla soluzione di un'equazione quadratica.
Nell'articolo si dice (cito testuali parole) che studiando le proprietà aritmetiche del polinomio e in particolare la ramificazione del campo di spezzamento di F su Q, si riesce a dimostrare che esistono solo 5 lunule quadrabili (ovvero 5 coppie di valori m e n ammissibili).
Non vi è però un accenno di dimostrazione, quindi mi risulta oscuro cosa voglia effettivamente dire....
Uhm... questo è già un argomento piuttosto settoriale, quindi non ti so dare riferimenti specifici, né so cosa aveva in mente l'autore dell'articolo.
Chiama [tex]K[/tex] il campo di spezzamento di [tex]F[/tex] su [tex]\mathbb Q[/tex]. Se ho capito, il tuo problema è di studiare le caratteristiche dell'estensione [tex]K/\mathbb Q[/tex]. Concretamente che cosa ti servirebbe? In che senso vuoi "ridurti alla soluzione di un'equazione quadratica"?
Chiama [tex]K[/tex] il campo di spezzamento di [tex]F[/tex] su [tex]\mathbb Q[/tex]. Se ho capito, il tuo problema è di studiare le caratteristiche dell'estensione [tex]K/\mathbb Q[/tex]. Concretamente che cosa ti servirebbe? In che senso vuoi "ridurti alla soluzione di un'equazione quadratica"?
Io so che un numero $\alpha$ è costruibile se e solo se esiste una catena finita di campi numerici
$\mathbb{Q}:=K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n=K$ tali che $\alpha \in K$ e $[K_i:K_{i-1}]\leq 2$ per $i=1,...,n$.
Quindi dovrei capire per quali valori $m,n$ il polinomio $F(y)$ ammette soluzioni che si possono esprimere solo in termini di radicali quadratici. Da come leggo a questo punto ci si concentra sull'analisi di $K/ \mathbb{Q}$. Immagino che la dimostrazione di questo fatto sia tutt'altro che banale, perchè ho letto molti articoli e libri a riguardo, ma nessuno riporta la dimostrazione originale. Però mi piacerebbe capire l'idea di fondo...come è fatto questa estensione? Cosa vuol dire studiare la ramificazione?
$\mathbb{Q}:=K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n=K$ tali che $\alpha \in K$ e $[K_i:K_{i-1}]\leq 2$ per $i=1,...,n$.
Quindi dovrei capire per quali valori $m,n$ il polinomio $F(y)$ ammette soluzioni che si possono esprimere solo in termini di radicali quadratici. Da come leggo a questo punto ci si concentra sull'analisi di $K/ \mathbb{Q}$. Immagino che la dimostrazione di questo fatto sia tutt'altro che banale, perchè ho letto molti articoli e libri a riguardo, ma nessuno riporta la dimostrazione originale. Però mi piacerebbe capire l'idea di fondo...come è fatto questa estensione? Cosa vuol dire studiare la ramificazione?
Infatti, sembra un problema affatto banale. Quindi probabilmente non riuscirò ad aggiungere nient'altro a quello che già sai.
Vedi, quella condizione si traduce grazie al teorema di corrispondenza di Galois ad un'affermazione completamente equivalente fatta su [tex]\text{Gal}(K/\mathbb Q)[/tex].
Quindi dal tuo punto di vista è equivalente studiare [tex]K/\mathbb Q[/tex] o [tex]\text{Gal}(K/\mathbb Q)[/tex] è esattamente la stessa cosa. Ora, la cosa diventa un po' tecnica, ma il gruppo di Galois è intrinsecamente legato all'aritmetica dell'estensione. Cosa vuol dire "aritmetica dell'estensione"? Sostanzialmente, invece di studiare [tex]\mathbb Q \subset K[/tex], consideri [tex]\mathbb Z \subset R_K[/tex] e studi il fenomeno di ramificazione, che è quello a cui accennavo prima. Da un certo punto di vista, la conoscenza dei primi che ramificano permette di individuare l'estensione, quindi la tua affermazione non mi sorprende (che dallo studio della ramificazione si riesca a dedurre la risolubilità o meno).
Ora, bisognerebbe scendere nei dettagli tecnici e io non ne sono capace. Conosco qualcosina sulla ramificazione (arrivo fino ai primi rudimenti della Class Field Theory), ma non ho idea di che legame ci sia con la costruibilità: servono teoremi specifici e le mie conoscenze in merito si arrestano all'impossibilità di quadrare il cerchio!
Vedi, quella condizione si traduce grazie al teorema di corrispondenza di Galois ad un'affermazione completamente equivalente fatta su [tex]\text{Gal}(K/\mathbb Q)[/tex].
Quindi dal tuo punto di vista è equivalente studiare [tex]K/\mathbb Q[/tex] o [tex]\text{Gal}(K/\mathbb Q)[/tex] è esattamente la stessa cosa. Ora, la cosa diventa un po' tecnica, ma il gruppo di Galois è intrinsecamente legato all'aritmetica dell'estensione. Cosa vuol dire "aritmetica dell'estensione"? Sostanzialmente, invece di studiare [tex]\mathbb Q \subset K[/tex], consideri [tex]\mathbb Z \subset R_K[/tex] e studi il fenomeno di ramificazione, che è quello a cui accennavo prima. Da un certo punto di vista, la conoscenza dei primi che ramificano permette di individuare l'estensione, quindi la tua affermazione non mi sorprende (che dallo studio della ramificazione si riesca a dedurre la risolubilità o meno).
Ora, bisognerebbe scendere nei dettagli tecnici e io non ne sono capace. Conosco qualcosina sulla ramificazione (arrivo fino ai primi rudimenti della Class Field Theory), ma non ho idea di che legame ci sia con la costruibilità: servono teoremi specifici e le mie conoscenze in merito si arrestano all'impossibilità di quadrare il cerchio!
Grazie mille lo stesso!
Mi hai dato comunque qualche input in più su cui continuare a ragionare
Mi hai dato comunque qualche input in più su cui continuare a ragionare
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