Radici polinomio di Artin

[Galoisfan]

Salve a tutti, non riesco a capire una cosa riguardo il polinomio di Artin:
Sia $F$ un campo di caratteristica $p>0$ e si consideri il polinomio $f(x)=x^p-x-a$ con $a\in F$. Ora sui libri e in rete leggo che se $\alpha$ e' una radice di $f(x)$ in una certa estensione $K$, allora lo sono anche $\alpha+1$, $\alpha+2$ ... $\alpha+p-1$, cosi' mi sono messo a fare i conti per verificare. Sia $\alpha$ una radice, dunque si ha $\alpha^p=\alpha+a$, provo a verificare ad esempio che $\alpha+2$ e' anche una radice:

\begin{equation}
(\alpha+2)^p-\alpha-2-a=\alpha^p+2^p-\alpha-2-a=\alpha+a+2^p-\alpha-2-a=2^p-2
\end{equation}

Non mi e' chiaro il motivo per cui $2^p-2$ debba fare $0$. Il piccolo teorema di Fermat non e' detto che possa essere utilizzato poiche' non si sta affatto supponendo $F=\mathbb Z_p$. Wikipedia dice che la tesi segue per il piccolo teorema di Fermat


Grazie in anticipo per la risposta.

[Pappappero1]

Ogni campo di caratteristica $p$ ha al suo interno una copia di $\ZZ _p$, che coincide proprio con il gruppo additivo generato da $1$. Applicando il piccolo teorema di Fermat a quel sottocampo, hai la tesi che cerchi.

[Galoisfan]

Giusto! anche se mi e' venuto in mente un altro modo: sicuramente $1^p-1=0$ dunque se $\alpha$ e' una radice lo e' anche $\alpha+1$. Data l'arbitrarieta' di $\alpha$ segue la tesi, e inoltre e' facile vedere che le radici distinte sono $p$.