Radici polinomi complessi

[braian1]

Mi sapete dire se le radici di un polinomio complesso sono anche suoi divisori?
Perchè ho un esercizio che dice di fattorizzare un polinomio e mi da una radice dello stesso.
Si dice poi che anche la sua radice coniugata è radice del polinomio. E poi si divide il polinomio per il prodotto tra le radici.
Si trova così la fattorizzazione: radice1*radice2*risultatoDivisione

[Camillo]

Se una equazione algebrica a coefficienti reali ha come radice un numero complesso, allora ha come radice anche il complesso coniugato : è un teorema .

[braian1]

ma com'è che il prodotto di queste radici è divisore del polinomio?
Forse non ho ben chiaro il concetto di radici...

[Camillo]

Se l'equazione $P(x) = 0 $ ha la radice $ x=a $ vuol dire che $P(x) $ è fattorizzabile come $P(x) =(x-a)*Q(x) $ .
OK ? Infatti se $ a $ è radice dell'equazione vuol dire che sostituendo in $P(x) $ al posto di $ x $ il valore $a $ allora $P(x) $ si annulla .
Considera l'equazione $x^2-5x+6 =0 $ , sappiamo che $x=2 $ e anche $x=3 $ sono radici dell'equazione e quindi se pongo al posto di $x $ il valore $2 $ oppure il valore $3 $ ottengo $0=0 $.
$P(x) $ che in questo caso vale $x^2-5x+6 $ è pertanto fattorizzabile come $(x-2)(x-3 ) $.

[braian1]

Perfetto, grazie, con questi esempi semplici si capisce bene

[braian1]

Correggetemi se sbaglio allora...
dato un polinomio P(x) e una sua radice A:

(x-A) è sempre divisore del polinomio

[Camillo]

Sì , anche se per maggior precisione io direi : data una equazione $P(x)= 0 $ e una sua radice etc .