Radici multiple polinomio e MCD derivata formale

[dark121it]

Salve a tutti,

il mio prof ha dato il seguente esercizio:

ESERCIZIO
Sia $P \in F[x]$ un polinomio, $F$ un campo. Provare che sono equivalenti:
(a) $P$ ammette radici multiple (in un qualche campo di spezzamento di F)
(b) $MCD(P,P') \ne 1$

Dubbio: a me pare che il teorema sia vero solo se il polinomio è monico.
Infatti se fosse vero in generale avrei per negazione che: $P$ non ammette radici multiple se e solo se $MCD(P,P') = 1$.
Ma se prendo $P=3(x+1)(x+2)$ risulta $P$ non ammette radici multiple eppure $MCD(P,P')=3$

In generale penso che la (b) debba essere sostituita con
(b') $MCD(P,P') \ne $ costante

Mi confermate?

[Gi81]

Il fatto è che, per definizione, viene imposto che il massimo comune divisore tra due polinomi sia monico.

Più precisamente, la definizione è questa:
Dati $p(x),q(x) in mathbb{K}[x]$ (con $mathbb{K}$ campo),
si definisce massimo comun divisore l'unico polinomio $d(x)in mathbb{K}[x]$ tale che :

[*:nxggkn69]$d(x) | a(x)$ e $d(x)|b(x)$;[/*:m:nxggkn69]
[*:nxggkn69]per ogni polinomio $r(x) in mathbb{K}[x]$ tale che $r(x) | a(x)$ e $r(x)|b(x)$ si abbia $r(x) | d(x)$;[/*:m:nxggkn69]
[*:nxggkn69] $d(x)$ sia monico.[/*:m:nxggkn69][/list:u:nxggkn69]

Perchè questo? Perchè se leviamo la coindizione che $d(x)$ sia monico non abbiamo più l'unicità.
Mi spiego con un esempio semplice: $p(x)=1/2(x-1)(x+1)$ e $q(x)=pi*(x-1)(x+sqrt2)$, entrambi in $RR[x]$.

Il massimo comun divisore (se non imponiamo che sia monico)
può essere $x-1$, ma anche $2(x-1)$, $1/sqrt(10) (x-1)$, $[log_30 25 ]*(x-1)$, eccetera.

[dark121it]

Ti ringrazio. Davvero esauriente.