Radici di $x^n-1$ e primitività

[thedarkhero]

Proposizione:
Sia $R$ anello e sia $alpha\inR$ una radice di $Phi_n(x)\inR[x]$ (n-esimo polinomio ciclotomico).
Se $alpha$ è radice di $x^n-1$ di molteplicità 1 allora $alpha$ è radice primitiva di 1.

Mi chiedevo...visto che il polinomio $x^n-1$ ha $n$ radici distinte, che senso ha richiedere che $alpha$ sia radice di $x^n-1$ di molteplicità 1?
Essendo $alpha$ radice di $Phi_n(x)$ sarà anche radice di $x^n-1$ ed avrà molteplicità 1 perchè appunto le radici sono tutte distinte, no?

Ad esempio il polinomio $Phi_2(x)=x+1\inZZ/(2ZZ)$ ha una radice che è $1\inZZ/(2ZZ)$.
Mi devo chiedere qual'è la molteplicità di 1 come radice di $x^2-1$ pensato come polinomio a coefficienti in $ZZ/(2ZZ)?
Perchè allora avrebbe molteplicità 2 e quindi capirei il senso dell'ipotesi della proposizione.

[dan952]

Si esatto è quello il significato dell'ipotesi $\Phi_n(x) \in R[x]$, cioè polinomio ciclotomico con coefficienti in $R$
Nel caso $\Phi_2(x)\in \mathbb{F}_{2}[x]$, 1 ha molteplicità 2 come hai ben detto.

Comunque credo si scriva "qual è" e non "qual'è"...

[thedarkhero]

Ok, grazie per la conferma e anche per la correzione grammaticale

[dan952]

Prego