Radici di un polinomio e coefficienti
Ciao a tutti.
Mi servirebbe una relazione che leghi i coefficienti di un polinomio alle sue radici. Sicuramente c'è,
ad esempio in un polinomio di 2° grado il termine di grado 0 è il prodotto delle radici, di grado 1 la somma. E in genere direi che il coeff. del termine di grado $k$ è la somma dei prodotti a $k$ a $k$ delle radici.
Ma vorrei una qualche referenza e dimostrazioni.. che non siano il banale conto. Insomma, se ci si può mettere un po' di intelligenza.
Grazie.
Mi servirebbe una relazione che leghi i coefficienti di un polinomio alle sue radici. Sicuramente c'è,
ad esempio in un polinomio di 2° grado il termine di grado 0 è il prodotto delle radici, di grado 1 la somma. E in genere direi che il coeff. del termine di grado $k$ è la somma dei prodotti a $k$ a $k$ delle radici.
Ma vorrei una qualche referenza e dimostrazioni.. che non siano il banale conto. Insomma, se ci si può mettere un po' di intelligenza.
Grazie.
Risposte
devi specificare dove consideri questi polinomi: visto che parli di radici immagino tu intendi lavorare in un campo chiuso, quindi diciamo [tex]\mathbb{C}[/tex]
ovviamente il termine di grado [tex]0[/tex] sarà sempre il prodotto delle radici.
e quello che dici sul termine di grado [tex]k[/tex[ mi pare abbia senso.
ma non credo possa venire fuori chissà cosa, perché non esiste un algoritmo che dato un polinomio ti restituisce sempre tutte le sue radici.
se hai qualche risultato interessante diccelo.
ovviamente il termine di grado [tex]0[/tex] sarà sempre il prodotto delle radici.
e quello che dici sul termine di grado [tex]k[/tex[ mi pare abbia senso.
ma non credo possa venire fuori chissà cosa, perché non esiste un algoritmo che dato un polinomio ti restituisce sempre tutte le sue radici.
se hai qualche risultato interessante diccelo.
Certo, lavoro su $CC$, o su un campo algebricamente chiuso che dir si voglia.
O meglio ancora, supponiamo di avere $lambda_1,..,lambda_n$ elementi di un anello commutativo unitario. Consideriamo $p(lambda)=\prod_(i) (lambda-lambda_i)=lambda^n+a_(n-1)lambda^(n-1)+...+a_0$.
Qual è l'espressione degli $a_i$?
Penso che sia una domanda banale, e che un qualunque "lettore volenteroso" possa rispondere. Ma io non lo sono
, e spero che ci sia un modo intelligente di non fare il conto..
Insomma, in matematica spesso cambiando il modo di guardare una cosa tutto appare più chiaro.. e prima di pensarci volevo chiedere se qualcuno sapeva di un modo "standard".
O meglio ancora, supponiamo di avere $lambda_1,..,lambda_n$ elementi di un anello commutativo unitario. Consideriamo $p(lambda)=\prod_(i) (lambda-lambda_i)=lambda^n+a_(n-1)lambda^(n-1)+...+a_0$.
Qual è l'espressione degli $a_i$?
Penso che sia una domanda banale, e che un qualunque "lettore volenteroso" possa rispondere. Ma io non lo sono
, e spero che ci sia un modo intelligente di non fare il conto..Insomma, in matematica spesso cambiando il modo di guardare una cosa tutto appare più chiaro.. e prima di pensarci volevo chiedere se qualcuno sapeva di un modo "standard".
Ciao Gaal, penso che potrebbero esserti utili la formule di Vietè
formule di Vietè
Meglio la versione inglese
http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te's_formulas
Vedi che nel caso di polinomio monico ($a_n=1$) hai un'espressione per ogni coefficiente.
Ciao!
formule di Vietè
Meglio la versione inglese
http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te's_formulas
Vedi che nel caso di polinomio monico ($a_n=1$) hai un'espressione per ogni coefficiente.
Ciao!
Di cosette del genere ne parlai un po' di tempo fa qui e qui (se non ricordo male, la convenzione degli indici nel secondo post è differente da quella nel primo).
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