Radici di un polinomio

[Ale0010]

Come posso dimostrare che il polinomio $ T^25 - T = 0 $ possiede come radici tutti gli elementi dell'estensione algebrica del campo $Z5$ per mezzo del polinomio irriducibile $X^2 + 2$.
Non ho idea di come iniziare so che per radice si intende un valore a tale che f(a)=0.
Grazie

[maurer]

Potresti iniziare ricordandoti il teorema di Lagrange per i gruppi... e magari calcolare la cardinalità di [tex](\mathbb Z / 5 \mathbb Z)[X]/(X^2 + 2)[/tex]...

[Ale0010]

Scusa non mi ricordavo di questo post... cmq il teorema di Lagrange dice che l'ordine del gruppo è multiplo intero di ogni suo sottogruppo mentre non so cosa sia la cardinalità e poi non saprei come unire i due concetti....

[maurer]

La cardinalità è il numero di elementi. Non è difficile fare 2+ 2...

[Ale0010]

Ho capito che K ha 25 elementi e il polinomio ha 25 radici compreso il valore nullo... Ma come unisco i due concetti?

[maurer]

Il teorema di Lagrange ha come ovvia ed immediata conseguenza il fatto che per ogni [tex]x \in G[/tex], [tex]x^{|G|} = 1_G[/tex]. Nel tuo caso, potresti ad esempio considerare [tex]K^* = K \setminus\{0\}[/tex], il gruppo moltiplicativo del campo. Quello ha ordine 24, quindi per ogni elemento non nullo del campo [tex]x^{24} - 1 = 0[/tex], che ovviamente implica [tex]x^{25} - x =0[/tex]...

[Ale0010]

Grazie mille...