Radici di un polinomio

[Kroldar]

Sia $p(s) = s^n+a_1s^(n-1)+a_2s^(n-2)+...+a_(n-1)s+a_n$ un polinomio monico di grando $n$. Si può affermare che condizione necessaria affinché tutte le sue radici siano a parte reale negativa è che risulti $a_i > 0 AA i in [1,...,n]$?
In caso di polinomio non monico occorre che tutti i coefficienti (compreso quello del termine di grando $n$) siano concordi?

[_Tipper]

Sì. Ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice a parte reale negativa.

[_Tipper]

Comunque direi che tale condizione non solo è necessaria, ma è pure sufficiente.

[Kroldar]

"Tipper":Comunque direi che tale condizione non solo è necessaria, ma è pure sufficiente.

Ti porto un controesempio al fatto che sia sufficiente: $p(s) = s^4+s^3+s^2+s+1$. Questo polinomio ha $4$ radici complesse di cui $2$ a parte reale positiva.
Io sapevo che quella condizione è sufficiente solo per polinomi di grado al più pari a $2$.

"Tipper":Sì. Ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice a parte reale negativa.

Che intendi con "permanenza di segno"?
Autorisposta: Ho capito cosa intendi adesso!

[_Tipper]

"Kroldar":Ti porto un controesempio al fatto che sia sufficiente: $p(s) = s^4+s^3+s^2+s+1$. Questo polinomio ha $4$ radici complesse di cui $2$ a parte reale positiva.

Sicuro? Io conoscevo questa regola (mi sembra si chiami regola di Cartesio): sia $p(s) = \sum_{k=0}^{n} a_k s^k$ un polinomio di grado $n$, allora

- se tutti i coefficienti $a_k$ sono non nulli, ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice a parte reale negativa, ad ogni variazione di segno corrisponde una radice a parte reale positiva

- se $a_0 = 0$ il polinomio ha come radice $0$

- se $a_k = 0$, con $k \ne 0$, allora ci sono almeno due radici con parte reale discorde (ovvero, almeno una con parte reale positiva e almeno una con parte reale negativa)

Evidentemente mi sbaglio...

[Sk_Anonymous]

Un polinomio in $s$ che non ha zeri nel semipiano destro è detto Polinomio di Hurwitz. I fattori costituiti un polinomio di Hurwitz possono essere della forma $(s+a)$ [zero reale] oppure $(s^2+a*s+b)$ [coppia di zeri complessi e coniugati], in ogni caso con $a$ non negativo e $b$ strettamente positivo. A meno che tutti gli zeri non siano posizionati sull'asse $j*omega$, tutti i coefficienti del polinomio debbono essere strettamente positivi. Questa è una condizione necessaria ma non sufficiente, come l'esempio seguente dimostra...

$s^3+s^2+2*s+8= (s^2-s+4)*(s+2)$ (1)

E' evidente infatti che il polinomio ha una coppia di zeri nel semipiano destro...

cordiali saluti

lupo grigio



an old wolf may lose his teeth, but never his nature