Radici di numero complesso

[mathix1]

Salve a tutti, ho bisogno di un piccolo aiuto:
Ho bisogno di trovare tutte le radici di un'equazione di settimo grado che è divisibile per $(x+1)^5$
Dopo aver effettuato la divisone mi ritrovo con:
$(x+1)^5$ e $ x^2 - 8x + 20$.
da quest'ultima ricavo le due radici $4 - 2i$ e $4+2i$,
ma come estraggo le radici da $(x+1)^5$?
mi viene da pensare che siano 5 radici che rappresentano tutte lo stesso punto $x=-1$

[j18eos]

Eh sì, formalmente si afferma che \(-1\) è una radice di molteplicità \(5\); se leggi bene c'è un teorema che afferma: la somma delle radici di un polinomio (su un campo algebricamente) di grado \(n\) è \(n\).

[Maci86]

Visto che usa lavora sui complessi, dovrebbe trovare tutte e cinque le radici quinte di meno uno.
In particolare le radici complesse saranno del tipo:
$z^(1/n)= e^(a/n) (e^(ib))^(1/n)= e^(a/n) e^(i(b/n + 2kpi/n))= |z|^(1/n) ( cos(b/n + 2kpi/n) + i sin (b/n + 2kpi/n)), k in {0,1,...,n-1}$
Prova a vedere quanto viene mettendo al posto di zeta meno uno.

[j18eos]

Guarda che non e' richiesto di calcolare \(x^5+1=0\)!

[mathix1]

se dovessi rappresentare le radici sul piano di gauss, che figura ne uscirebbe fuori?
ho $4 - 2i$ e $4 + 2i$ e cinque volte $-1$

grazie in anticipo per le risposte

[j18eos]

Fai un disegno!

[mathix1]

il disegno l'avevo già fatto, mi viene un triangolo con i seguenti vertici:
$(4,2) , (4,-2), (-1,0)$
anche a voi esce la stessa figura?

[j18eos]

Banalmente sì: quei tre punti non sono collineari nel piano (di Argand-Gauss)!