Radici di $-1$ in un anello

[eminova]

Sia $\mathcal{A}$ un anello con unità e di caratteristica zero in cui ci sono due elementi $i,j$ tali che $i^2=-1$ e $j^2=-1$ e $j\ne \pm i$ allora sono possibili due casi:
1) $ij-ji \ne 0$
2) $i+j$ e $i-j$ sono divisori dello zero.
Infatti:
\[
(i+j)(i-j)=i^2-ij+ji-j^2=ji-ij
\]
e se fosse $ij-ji=0$ allora o $(i+j)$ e $(i-j)$ sono divisori dello zero, oppure $i+j=0$ o $i-j=0$ contro l'ipotesi.
Un esempio del primo caso è l'anello dei quaternioni, ma non riesco a vedere un esempio del secondo caso. Qualcuno ne conosce?

[Pappappero1]

Sia $k$ un campo di caratteristica $0$, in cui $-1$ non ha una radice quadrata (pensiamo ad esempio $k= \mathbb{Q}$, ma ci si può sbizzarrire con esempi strani) e sia $k[x,y]$ l'anello dei polinomi in due indeterminate.

Sia \(A = k[x,y] / (x^2+1,y^2+1)\). In $A$, si ha che (le classi di) $x$ ed $y$ sono radici di $-1$ e $x \ne \pm y$ (quindi nelle notazioni del tuo post possiamo porre $x=i$ e $y=j$). In particolare $x+y$,$x-y$ non sono nulli. Si ha però $(x+y)(x-y)=0$.

Perciò $A$ verifica il secondo caso del tuo esempio.

[eminova]

Grazie della risposta! Probabilmente quando ho postato ero un po' annebbiato per l'ora tarda visto che c'è anche l'esempio banale delle matrici del tipo:
\[
X=
\left(
\begin{array}{ccccc}
x&0 \\
0 &y
\end{array}
\right)
\]
con $x,y \in \mathbb{C}$ che formano un anello rispetto alle solite operazioni e le due:
\[
I=
\left(
\begin{array}{ccccc}
i&0 \\
0 &i
\end{array}
\right)
\qquad
J=
\left(
\begin{array}{ccccc}
i&0 \\
0 &-i
\end{array}
\right)
\]
sono tali che $I^2=J^2=-1$ e $I+J$ e $I-J$ sono divisori dello zero.
A questo punto mi viene da congetturare che se un anello ha due "unità immaginarie" $i^2=j^2=-1$ "indipendenti" cioè del tipo $j \ne \pm i$ allora deve avere dei divisori dello zero e quindi non può essere un division ring e addirittura che tutti i division rings (si chiamano corpi da noi o sbaglio?) o non hanno unità immaginarie o ne hanno un numero dispari. Ma sarà vero?

[Pappappero1]

Sì, anche il tuo esempio funziona. Quando voglio costruire qualcosa di strano io penso automaticamente agli anelli di polinomi, quindi mi è tornato più facile costruirlo come quoziente di $k[x,y]$.

Sulla congettura, non ho elementi per esprimermi. Ci penso...