Radici complesse polinomio di terzo grado
Salve a tutti,
ho bisogno di una mano per risolvere il seguente esercizio:
Si $i in C$ l'unità immaginaria, determinare tutte le radici in $C$ del polinomio
$x^3 +3x^2 +3x +1 + i = 0$
Non ho capito quale procedimento usare per il calcolo di tutte le radici. Potreste illustrarmi il procedimento da seguire?
Grazie mille a tutti quelli che mi aiuteranno!
ho bisogno di una mano per risolvere il seguente esercizio:
Si $i in C$ l'unità immaginaria, determinare tutte le radici in $C$ del polinomio
$x^3 +3x^2 +3x +1 + i = 0$
Non ho capito quale procedimento usare per il calcolo di tutte le radici. Potreste illustrarmi il procedimento da seguire?
Grazie mille a tutti quelli che mi aiuteranno!
Risposte
Tralasciando il particolare che hai sbagliato sezione; inizia a scomporre il polinomio \(\displaystyle x^3+3x^3+3x+1\) e... sorpresa! 
"j18eos":
Tralasciando il particolare che hai sbagliato sezione; inizia a scomporre il polinomio \(\displaystyle x^3+3x^3+3x+1\) e... sorpresa!
Ho trovato che lo zero del polinomio è $(-1+i)$ e quindi questa è una radice del polinomio, però ora non riesco più ad andare avanti per calcolare le altre radici.
Scusa, ma hai seguito il mio consiglio? 
"j18eos":
Scusa, ma hai seguito il mio consiglio?
Allora temo di non aver capito cosa volevi dire, scusa ma con i numeri complessi non ho dimestichezza
Lascia stare i numeri complessi (per adesso), io ti ho suggerito di scomporre il polinomio \(\displaystyle x^3+3x^2+3x+1\)!
Il trucco sta tutto lì...
Il trucco sta tutto lì...
"j18eos":
Lascia stare i numeri complessi (per adesso), io ti ho suggerito di scomporre il polinomio \(\displaystyle x^3+3x^2+3x+1\)!
Il trucco sta tutto lì...
Grazie al tuo consiglio sono quasi riuscito a risolvere l'esercizio!
Ho trovato una prima soluzione che mi da $x = -1+i$ che è corretta, ora devo ricavarmi le altre due radici dall'equazione di secondo grado ottenuta dalla scomposizione cioè:
$x^2+2x+1+i=0$
però i risultati che le radici che ho ottenuto non sono corrette. Ho utilizzato la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, ma evidentemente non il procedimento corretto. Come devo fare?
Grazie mille per l'aiuto che mi stai dando
Con la scomposizione che ti viene? 
"j18eos":
Con la scomposizione che ti viene?
Mi viene:
$(x^2+2x+1)(x+1)+i=0$
da cui ho
$(x+1)+i=0$ e mi ricavo $x=-1+i$
e
$x^2+2x+1+i=0$ qui ho usato la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado per trovare le due radici, ma non sono venute giuste. Il discriminante mi è venuto uguale a $-4i$
Questo è corretto
Inoltre, trattandosi di un prodotto: non puoi separare indiscriminatamente i due polinomi come hai fatto tu!
"Castle90":ma il resto del ragionamento è sbagliato; devi scomporre anche quel polinomio di II grado.
...$ (x^2+2x+1)(x+1)+i=0 $...
Inoltre, trattandosi di un prodotto: non puoi separare indiscriminatamente i due polinomi come hai fatto tu!
"j18eos":ma il resto del ragionamento è sbagliato; devi scomporre anche quel polinomio di II grado.
Questo è corretto [quote="Castle90"]...$ (x^2+2x+1)(x+1)+i=0 $...
Inoltre, trattandosi di un prodotto: non puoi separare indiscriminatamente i due polinomi come hai fatto tu![/quote]
ma nelle dispense che ho io lo fa, poi scusa se ho ben capito devo scomporre $x^2+2x+1=0$ quindi così facendo il prodotto viene ugualmente separato, o no?
Partiamo dal presupposto che tu quel polinomio di III grado a coefficienti reali non l'hai scomposto (per chiarezza scrivo di \(\displaystyle x^3+3x^2+3x+1\)).
Supposto che la scomposizione sia effettivamente:
\[
(x^2+2x+1)(x+1)+i=0
\]
il passaggio che tu fai:
\[
x^2+2x+1+i=0\\
x+1+i=0
\]
è semplicemente sbagliato; se fosse corretto avresti:
\[
x^2+2x+1=-i\\
x+1=-i
\]
che ti porterebbe al risultato:
\[
(x^2+2x+1)(x+1)=(-i)\cdot(-i)=-1
\]
che non è l'equazione da cui sei partit*!
Tu ti confondi con la regola di annullamento del prodotto: un prodotto (finito) di numeri è uguale a \(\displaystyle0\) se e solo se almeno uno dei fattori è zero; nella pratica tale regola la applichi a equazioni del tipo:
\[
x(x-1)(x+2)=0
\]
e non a equazioni del tipo:
\[
x(x-2)=-4.
\]
Supposto che la scomposizione sia effettivamente:
\[
(x^2+2x+1)(x+1)+i=0
\]
il passaggio che tu fai:
\[
x^2+2x+1+i=0\\
x+1+i=0
\]
è semplicemente sbagliato; se fosse corretto avresti:
\[
x^2+2x+1=-i\\
x+1=-i
\]
che ti porterebbe al risultato:
\[
(x^2+2x+1)(x+1)=(-i)\cdot(-i)=-1
\]
che non è l'equazione da cui sei partit*!
Tu ti confondi con la regola di annullamento del prodotto: un prodotto (finito) di numeri è uguale a \(\displaystyle0\) se e solo se almeno uno dei fattori è zero; nella pratica tale regola la applichi a equazioni del tipo:
\[
x(x-1)(x+2)=0
\]
e non a equazioni del tipo:
\[
x(x-2)=-4.
\]
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