Radice primitiva e numeri primi
Il mio testo riporta:
"Per ogni primo o dispari
$ p^2 -= 1 (mod 8) $
Quindi in $ F_(p^2) $ esiste una radice ottava primitiva dell' unità, che indicheremo con $k$."
Voi cosa capite? Io intendo che k è tale che $k^8=1$ in $ F_(p^2) $, ma questo come si è dedotto dalla congruenza?
In particolare, successivamente si fanno dei calcoli con k che non ho ben capito i passaggi, in particolare:
$k-k^3-k^5+k^7=k-k^3+k-k^3$
Io ho supposto, se $k^8=1$ allora $k^5=k^(-3)$, quindi in ogni caso non riesco a capire quell equazione come si verifica...
forse non ho ben capito le proprietà di k... help.
"Per ogni primo o dispari
$ p^2 -= 1 (mod 8) $
Quindi in $ F_(p^2) $ esiste una radice ottava primitiva dell' unità, che indicheremo con $k$."
Voi cosa capite? Io intendo che k è tale che $k^8=1$ in $ F_(p^2) $, ma questo come si è dedotto dalla congruenza?
In particolare, successivamente si fanno dei calcoli con k che non ho ben capito i passaggi, in particolare:
$k-k^3-k^5+k^7=k-k^3+k-k^3$
Io ho supposto, se $k^8=1$ allora $k^5=k^(-3)$, quindi in ogni caso non riesco a capire quell equazione come si verifica...
forse non ho ben capito le proprietà di k... help.
Risposte
Anche io intendo in quel modo. Se il numero $p$ fosse primo, sarebbe sufficiente considerare $k$ radice primitiva: questa c'è sicuramente, e quindi se $k^2=1$ anche $k^8=1$ ... Quindi c'è un ragionamento ulteriore per $p$ dispari, non primo - aspettiamo chi ne sa più di me, mi sono incuriosito.
\(p=2k+1\) dispari
\( p^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k(k+1)\)
siccome \( k(k+1)\) è sicuramente pari e quindi \( k(k+1)=2q\):
\( p^2-1=8q\)
\( p^2 \equiv 1 Mod(8)\)
\( p^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k(k+1)\)
siccome \( k(k+1)\) è sicuramente pari e quindi \( k(k+1)=2q\):
\( p^2-1=8q\)
\( p^2 \equiv 1 Mod(8)\)
"Daniele Florian":Per capire perchè vale questo suggerisco di guardare qui
...Quindi in $ F_(p^2) $ esiste una radice ottava primitiva dell' unità, che indicheremo con $k$."
@totissimus
Beh, lo davo per scontato che $p^2-=1 (mod 8)$ per $p$ dispari, come hai banalmente fatto vedere. Ma il problema non è questo, infatti...
@Gi8
... infatti, se $p$ è primo allora il campo $F_(p^2)$ ha una radice primitiva e quindi anche una radice ottava primitiva. Oppure vale anche per $p$ dispari qualunque (?!?), oppure non ho capito... Che c'entra il fatto che $p^2$ sia congruo a 1 modulo 8? Boh? Spiegami perché non ho capito.
Beh, lo davo per scontato che $p^2-=1 (mod 8)$ per $p$ dispari, come hai banalmente fatto vedere. Ma il problema non è questo, infatti...
@Gi8
... infatti, se $p$ è primo allora il campo $F_(p^2)$ ha una radice primitiva e quindi anche una radice ottava primitiva. Oppure vale anche per $p$ dispari qualunque (?!?), oppure non ho capito... Che c'entra il fatto che $p^2$ sia congruo a 1 modulo 8? Boh? Spiegami perché non ho capito.
"Wikipedia":
Il campo \(\displaystyle \mathbb{F}_{p^n}\) è costruito come il campo di spezzamento del polinomio \(\displaystyle q(x) = x^{p^n} - x \) definito sul campo \(\displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\).
Ora (considerando $n=2$) abbiamo $q(x)= x^(p^2)-x = x *(x^(p^2 -1) -1)$.
Dato che $p^2-=1_(mod 8)$ si ha $q(x) = x*(x^(8m) -1)$ per un opportuno $m in NN$.
Consideriamo una radice (primitiva) $xi_0$ di $x^(8m)-1$.
Allora \(\displaystyle \xi:= \xi_0 ^m \in \mathbb{F}_{p^2} \) è radice ottava primitiva dell'unità.
Il gruppo $F_{p^2}^{\times}$ e' ciclico di ordine $p^2-1$.
Il fatto che $8$ divide $p^2-1$ implica quindi che $F_{p^2}^{\times}$ contiene un elemento di ordine $8$.
Il fatto che $8$ divide $p^2-1$ implica quindi che $F_{p^2}^{\times}$ contiene un elemento di ordine $8$.
Tutto giusto, solo che - ovviamente - assumete $p$ primo e non dispari qualunque. Quindi la questione è solo interpretativa: "per ogni $p$ primo o dispari..." eccetera mi ha fuorviato.
Grazie mille, ora questo mi torna più chiaro, ma continuo a non capire quell equazione che proprietà di k ha utilizzato...
Il fatto che $k$ ha ordine $8$ implica che $k^8=1$ mentre $k^4!=1$.
Dalla formula $k^8-1=(k^4-1)(k^4+1)$ segue quindi che $k^4+1=0$.
E questa e' la proprieta' cercata: $k^4=-1$.
Dalla formula $k^8-1=(k^4-1)(k^4+1)$ segue quindi che $k^4+1=0$.
E questa e' la proprieta' cercata: $k^4=-1$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo