Radice n-esima discreta

[Lord K]

Mi pongo il seguente problema: siano $a,b,c in ZZ$ vogliamo trovare una soluzione generale al problema:

$x^a\equiv b(c)$

è possibile? Fino a che punto?

P.S. ovviamente mi metto subito al lavoro per una possibile soluzione...

[vict85]

"Lord K":Mi pongo il seguente problema: siano $a,b,c in ZZ$ vogliamo trovare una soluzione generale al problema:

$x^a\equiv b(c)$

è possibile? Fino a che punto?

P.S. ovviamente mi metto subito al lavoro per una possibile soluzione...

Fammi capire... intendi $x^a \equiv (\mod c)$ oppure $x^a \equiv b*c$?

[Lord K]

Intendo scrivere equivalentemente:

$x^a\equiv b (modc)$
$x^a\equivb(c)$

[Lord K]

Primo tentativo supponiamo per semplicità che $c=p$ primo! Vogliamo studiare il problema:

$x^a \equiv b(p)$

partiamo dalla seguente osservazione:

$b^p \equiv b (p)$

Sia $p=a*k_a + r_a$ con $r_a in {1..a-1}$

$b^(a*k_a + r_a) \equiv b (p)$
$(b^k_a)^a \equiv b^(1-r_a) (p)$

Se fosse $1-r_a \equiv 0 (k_a)$ saremmo alla soluzione (non considero il caso banale $r_a=1$)

$x \equiv b^((k_a)/(1-r_a)) (p)$

Genericamente così non è, quindi proseguiamo nel seguente ragionamento:

$b^(a*k_a + r_a) \equiv b (p)$
$b^(a*k_a)*b^(r_a) \equiv b (p)$
$b^(a*k_a)*b^(r_a)*b^(a*Gamma-r_a) \equiv b*b^(a*Gamma-r_a) (p)$

allora:

$b^(a*(k_a+Gamma)) \equiv b^(a*Gamma-r_a+1) (p)$

Qui si tratta di trovare se esiste il valore del parametro $Gamma$ tale che:

$(k_a+Gamma)/(a*Gamma-r_a+1) in ZZ$

può essere scritto (tornando indietro):

$(k_a+Gamma)/(a*Gamma-r_a+1) = (p-r_a+a*Gamma)/(a*(a*Gamma-r_a+1)) = 1/a*( 1 + (p-1)/(a*Gamma-r_a+1)) in ZZ$

La soluzione finale sarebbe quindi:

$x \equiv b^((k_a+Gamma)/(a*Gamma-r_a+1)) (p)$.

[Lord K]

Ultimo appunto, prometto!

La soluzione dipende dall'esistenza di un punto (o più) a coordinate intere. Dobbiamo valutare quindi la curva di equazione:

$y=(x+K)/(ax+1-r_a)$

Ovvero una iperbole equilatera che con un poco di lavoro diventa:

$XY= (p-1)/(a^2)$

operando la traslazione:

${(x=X-(1-r_a)/a),(y=Y+1/a):}$

Per una nota osservazione è sufficiente trovare un punto di coordinate razionali, diciamo $(x_0,y_0)$ e far passare per esso una retta con coefficiente angolare razionale per trovare tutte le intersezioni con l'iperbole con altri coefficienti razionali. Tra questi poi trovare (visto che esistono!!!) quelli con coordinate intere.