Radice ennesima di un numero reale non negativo

[DR1]

Siano $y in RR$, $ \ y >=0 $ e $ \ n in NN$, $ \ n >=2$
allora $ EE ! \ r in RR \ : r^n=y$
Perché $r=$sup${a>=0 : a^n <= y }$ e non
$r=$sup${a>=0 : a^n = y }$?

[Pappappero1]

A posteriori $r$ è sup di entrambi gli insiemi. Ma a priori il secondo insieme potrebbe essere vuoto, mentre ad esempio nel primo c'è sempre $0$.

[DR1]

Un esempio in cui
in $ r= $sup$ {a>=0 : a^n <= y } $
$a^n < y$ ?

[Pappappero1]

Non ho capito cosa stai chiedendo...

[DR1]

Siccome non ho capito la spiegazione del perché $a^n<=y$ e non $a^n quando $a^n=0 : a^n <= y } $?

[Gi81]

provo a ridire quello che ha scritto Pappappero in un altro modo.
Abbiamo da dimostrare il seguente teorema:

Siano $y in RR$, $ \ y >=0 $ e $ \ n in NN$, $ \ n >=2$. Allora $ EE ! \ r in RR \ : r^n=y$

Se iniziamo la dimostrazione considerando l'insieme $A= {a in [0,+oo)| a^n=y}$, per farne il $text{sup}$ dobbiamo avere la garanzia che $A!= emptyset$. Quindi dobbiamo supporre che $EE c in RR$ tale che $c^n=y$. Ma non possiamo farlo, perchè questo è proprio quello che dobbiamo dimostrare!

Per questo l'insieme che consideriamo è $B= {a in [0,+oo] | a^n<=y}$.
Certamente questo insieme è non vuoto (perchè? perchè $0 in B$), quindi esiste $r=text{sup}B$.

Poi si procede con la dimostrazione del teorema, per arrivare a dire che $r^n=y$ (e questo dimostra l'esistenza)

[DR1]

Perché $0 notin A$ ?

[Gi81]

Se $y=0$ si ha $0 in A$, ma se $y>0$ certamente $0 notin A$. Altrimenti avremmo $0^n=y$