Radice di 2 è un numero irrazionale. Dimostrazione per assurdo
Buonasera ho bisogno di un aiuto per quanto riguarda una dimostrazione per assurdo, lasciato dalla prof a lezione.
L'esercizio era dimostrare per assurdo che [tex]\sqrt{2}[/tex] è un numero irrazionale
Comincio negando la tesi, quindi affermo che
[tex]\sqrt{2}[/tex] è un numero razionale, dato che [tex]\sqrt{2}[/tex] è razionale, allora
[tex]\exists m,n \, \, appartenenti a\, \, \mathbb{Z} /\sqrt{2}=\frac{m}{n}[/tex]
quindi continuo così:
[tex]\sqrt{2}=\frac{m}{n}[/tex] allora [tex]n\sqrt{2}=m[/tex] e [tex]2n^{2}=m^{2}[/tex]
Quindi se m al quadrato è pari, è pari anche m, allora pongo [tex]m=2k[/tex] e ottengo
[tex]2n^{2}=(2k)^{2}\, \, ->2n^{2}=4k^{2}\, \, -> n^{2}=2k^{2}[/tex] Allora anche n è pari.
Aiutandomi col libro sono arrivato a questa conclusione, ma non riesco a capire perchè dimostrando che n è pari, abbiamo dimostrato che radice di 2 è irrazionale
L'esercizio era dimostrare per assurdo che [tex]\sqrt{2}[/tex] è un numero irrazionale
Comincio negando la tesi, quindi affermo che
[tex]\sqrt{2}[/tex] è un numero razionale, dato che [tex]\sqrt{2}[/tex] è razionale, allora
[tex]\exists m,n \, \, appartenenti a\, \, \mathbb{Z} /\sqrt{2}=\frac{m}{n}[/tex]
quindi continuo così:
[tex]\sqrt{2}=\frac{m}{n}[/tex] allora [tex]n\sqrt{2}=m[/tex] e [tex]2n^{2}=m^{2}[/tex]
Quindi se m al quadrato è pari, è pari anche m, allora pongo [tex]m=2k[/tex] e ottengo
[tex]2n^{2}=(2k)^{2}\, \, ->2n^{2}=4k^{2}\, \, -> n^{2}=2k^{2}[/tex] Allora anche n è pari.
Aiutandomi col libro sono arrivato a questa conclusione, ma non riesco a capire perchè dimostrando che n è pari, abbiamo dimostrato che radice di 2 è irrazionale
Risposte
Infatti manca un piccolo dettaglio perché la dimostrazione sia completa. Conviene aggiungere l'ipotesi che la frazione $m/n = \sqrt2$ sia ridotta ai minimi termini (i.e. $m$ ed $n$ sono coprimi), ipotesi che non lede la generalità perché dato un numero razionale esiste sempre la sua rappresentazione in frazione in cui numeratore e denominatore sono coprimi (conseguenza del teorema fondamentale dell'aritmetica). In questo caso dimostrando che sia $m$ sia $n$ sono pari arrivi ad un assurdo perché avevi supposto che fossero coprimi.
In breve lo schema della dimostrazione è questo: Suppongo $\sqrt2$ razionale (i.e. è esprimibile come rapporto di due numeri interi), lo esprimo come frazione di due numeri coprimi, ma operando come hai fatto risulta che non sono coprimi, da cui l'assurdo. Espletando molte implicazioni banali: hai dimostrato che non è possibile esprimere $\sqrt2$ come rapporto di due numeri interi coprimi, il che implica che non è possibile esprimerla come rapporto di interi qualunque, il che implica che non è razionale.
In breve lo schema della dimostrazione è questo: Suppongo $\sqrt2$ razionale (i.e. è esprimibile come rapporto di due numeri interi), lo esprimo come frazione di due numeri coprimi, ma operando come hai fatto risulta che non sono coprimi, da cui l'assurdo. Espletando molte implicazioni banali: hai dimostrato che non è possibile esprimere $\sqrt2$ come rapporto di due numeri interi coprimi, il che implica che non è possibile esprimerla come rapporto di interi qualunque, il che implica che non è razionale.
Ora è tutto più chiaro. Grazie 
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