$R^2$
Salve a tutti, vorrei chiarire un dubbio sui numeri complessi.
La domanda è questa: l'insieme dei numeri complessi è un campo o un anello ?
Io so che un numero complesso è dato dal risultato del prodotto cartesiano RxR che invece risulta essere un anello, ma chiamandosi CAMPO dei numeri complessi inizio a fare confusione
qualcuno può chiarirmi il dubbio ?
La domanda è questa: l'insieme dei numeri complessi è un campo o un anello ?
Io so che un numero complesso è dato dal risultato del prodotto cartesiano RxR che invece risulta essere un anello, ma chiamandosi CAMPO dei numeri complessi inizio a fare confusione
qualcuno può chiarirmi il dubbio ?
Risposte
Sai la definizione di campo?
$\mathbb{R}^2$ è un anello con la moltiplicazione per componenti ed è un campo con la moltiplicazione complessa. Se cambi operazioni cambia tutto.
"vict85":
$\mathbb{R}^2$ è un anello con la moltiplicazione per componenti ed è un campo con la moltiplicazione complessa. Se cambi operazioni cambia tutto.
Capito
grazie !La moltiplicazione complessa non gode di associatività e commutatività ma invece ammette elemento neutro e inverso, giusto ?
Il campo dei complessi $CC$, per definizione stessa di campo. ammette la proprietà associativa e commutativa.
Perchè quindi la moltiplicazione complessa rende C un campo mentre quella "tradizionale" ne fa un anello ?
Beh basta verificarlo a mano con conti noiosi ma facili. La somma è definita in entrambe le strutture nello stesso modo; il prodotto è definito in $\mathbb{C}$ come $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$, mentre nell'altra struttura come $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$.
Entrambi sono anelli con unità: infatti, sono gruppi abeliani rispeto alla somma, ad esempio in quanto $\mathbb{R}^2$ è già uno spazio vettoriale; valgono le proprietà distributive; vale l'associatività del prodotto; ammettono unità, anche se diverse, perché $\mathbb{C}$ ha $(1,0)$ come unità, mentre l'altra struttura ha $(1,1)$ come unità.
$\mathbb{C}$ è anche un campo perché il prodotto è commutativo (cioè è un anello commutativo) e ogni elemento diverso dalla zero $(0,0)$ è invertibile.
L'altra struttura (scusa se continuo a chiamarla "l'altra struttura" ma non ha un nome che io sappia
) non è un campo. Infatti, $(1,0)(0,1)=(0,0)$ quindi esistono divisori non banali dello zero, motivo per cui non è un dominio di integrità e quindi nemmeno un campo. O se vuoi, non tutti gli elementi sono invertibili: $(1,0)$ non lo è perché, se per assurdo ammettesse un inverso $(a,b)$, dovrebbe essere $(1,1)=(1,0)(a,b)=(a,0)$ da cui $1=0$.
Non so quali siano le tue conoscenze di algebra: se non sai ancora cos'è uno spazio vettoriale, un gruppo abeliano, un dominio di integrità, alcune delle cose che ho scritto ti saranno oscure :S
Entrambi sono anelli con unità: infatti, sono gruppi abeliani rispeto alla somma, ad esempio in quanto $\mathbb{R}^2$ è già uno spazio vettoriale; valgono le proprietà distributive; vale l'associatività del prodotto; ammettono unità, anche se diverse, perché $\mathbb{C}$ ha $(1,0)$ come unità, mentre l'altra struttura ha $(1,1)$ come unità.
$\mathbb{C}$ è anche un campo perché il prodotto è commutativo (cioè è un anello commutativo) e ogni elemento diverso dalla zero $(0,0)$ è invertibile.
L'altra struttura (scusa se continuo a chiamarla "l'altra struttura" ma non ha un nome che io sappia
) non è un campo. Infatti, $(1,0)(0,1)=(0,0)$ quindi esistono divisori non banali dello zero, motivo per cui non è un dominio di integrità e quindi nemmeno un campo. O se vuoi, non tutti gli elementi sono invertibili: $(1,0)$ non lo è perché, se per assurdo ammettesse un inverso $(a,b)$, dovrebbe essere $(1,1)=(1,0)(a,b)=(a,0)$ da cui $1=0$.Non so quali siano le tue conoscenze di algebra: se non sai ancora cos'è uno spazio vettoriale, un gruppo abeliano, un dominio di integrità, alcune delle cose che ho scritto ti saranno oscure :S
So cos'è un gruppo Abeliano ma uno spazio vettoriale e un dominio di integrità no.
Faccio un passo indietro.. Un campo è una struttura algebrica (S,+,*) dove :
>(S,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0
>(S\{0},*) è gruppo abeliano con elemento neutro 1
> " * " è distributiva rispetto " + "
Un Anello Commutativo invece è una struttura (S,+,*) dove :
>(S,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0
>(S,*) gode SOLO (?) di associatività e commutatività
> " * " è distributiva rispetto " + "
Cioè un anello che in più gode di commutatività per la moltiplicazione.
(Vorrei capire bene le differenze poi magari mi studio dominio di integrità e spazio vettoriale prima di fare altre domande inutili (PS è possibile averne una breve definizione ?
))
Faccio un passo indietro.. Un campo è una struttura algebrica (S,+,*) dove :
>(S,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0
>(S\{0},*) è gruppo abeliano con elemento neutro 1
> " * " è distributiva rispetto " + "
Un Anello Commutativo invece è una struttura (S,+,*) dove :
>(S,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0
>(S,*) gode SOLO (?) di associatività e commutatività
> " * " è distributiva rispetto " + "
Cioè un anello che in più gode di commutatività per la moltiplicazione.
(Vorrei capire bene le differenze poi magari mi studio dominio di integrità e spazio vettoriale prima di fare altre domande inutili (PS è possibile averne una breve definizione ?
))
Si le tue definizioni sono giuste. Un campo si può anche definire, in maniera del tutto equivalente, come un anello unitario commutativo in cui ogni elemento non nullo è invertibile.
Se non hai ancora fatto gli spazi vettoriali lascia stare, anche perché è tutto un altro settore dell'algebra (algebra lineare)... Un dominio (d'integrità) è un anello communativo $D$ in cui non esistono divisori non banali dello zero (un divisore dello zero è un $a$ t.c. $\exists b\ne 0$ per cui $ab=0$; $0$ è ovviamente sempre un divisore dello zero; i divisori dello zero che non siano zero sono detti non banali). Tutti i campi sono domini, perché se un elemento è invertibile non può essere un divisore dello zero (se $a$ è invertibile con $ab=0$ allora $b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0$, quindi non esiste $b\ne 0$ t.c. $ab=0$). Non tutti i campi sono domini; ad esempio $\mathbb{Z}$ con somma e prodotto usuali è un dominio (quindi anche un anello) ma non un campo.
Se non hai ancora fatto gli spazi vettoriali lascia stare, anche perché è tutto un altro settore dell'algebra (algebra lineare)... Un dominio (d'integrità) è un anello communativo $D$ in cui non esistono divisori non banali dello zero (un divisore dello zero è un $a$ t.c. $\exists b\ne 0$ per cui $ab=0$; $0$ è ovviamente sempre un divisore dello zero; i divisori dello zero che non siano zero sono detti non banali). Tutti i campi sono domini, perché se un elemento è invertibile non può essere un divisore dello zero (se $a$ è invertibile con $ab=0$ allora $b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0$, quindi non esiste $b\ne 0$ t.c. $ab=0$). Non tutti i campi sono domini; ad esempio $\mathbb{Z}$ con somma e prodotto usuali è un dominio (quindi anche un anello) ma non un campo.
Scusa, forse intendevi dire non tutti i domini sono campi ?
Cmq grazie 1000 cercherò di mettere in ordine le idee !
Cmq grazie 1000 cercherò di mettere in ordine le idee !
Si naturalmente, non tutti i domini sono campi!
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