$R$-algebre e quozienti di anelli polinomiali
Ciao, amici! Vedo spesso equiparata una $R$-algebra ad un quoziente \(R[\mathfrak{X}]/\mathfrak{a}\) con \(\mathfrak{X}=(X_i)_{i\in I}\) un sistema di variabili e \(\mathfrak{a}\) un ideale.
Credo che sia così perché dalla proprietà universale degli anelli di polinomi* per cui, se \(\varphi:R\to A\) è un omomorfismo di anelli commutativi e \(\sigma: (\mathbb{N}^{(I)},+)\to (A,\cdot),\mu\mapsto x^{\mu}:=\prod_{i\in I}x_i^{\mu_i}\)** un omomorfismo di monoidi, esiste un (unico) omomorfismo di anelli \(\Phi:R[\mathfrak{X}]\to A\) tale che \(\Phi|_{R}=\varphi\) e \(\Phi(\mathfrak{X}^\mu) =\sigma(\mu)=\prod_{i\in I}x_i^{\mu_i} \), direi che discenda evidentemente che \(\Phi(R[\mathfrak{X}])=A\) e quindi, grazie al teorema di omomorfismo, \(A\xrightarrow{\sim}R[\mathfrak{X}]/\ker\Phi\) è un isomorfismo di anelli, che è, evidentemente per come trasforma $R$, anche un isomorfismo di $R$-algebre se $\phi:R\to A$ è l'omomorfismo che definisce $A$ come $R$-algebra, quindi, chiamando \(\mathfrak{a}\) il nucleo \(\ker\Phi\), mi pare che sia evidente il significato di identificare ogni $R$-algebra con un \(R[\mathfrak{X}]/\mathfrak{a}\).
Sembra giusto?
\(\infty\) grazie a tutti!
*Sia $\phi:R\to R'$ un omomorfismo di anelli commutativi e sia $\sigma:M\to R'$ un omomorfismo di monoidi considerando $R'$ monoide rispetto alla moltiplicazione di anello. Esiste allora un unico omomorfismo di anelli \(\Phi:R[M]\to R'\) tale che \(\Phi|_{R}=\varphi\) e \(\Phi(X^\mu)=\sigma(\mu)\) per ogni $\mu\in M$.
**Quasi tutti i $\mu_i$ nulli, come mi faceva notare j18eos, che ringrazio ancora se passasse da queste parti.
Credo che sia così perché dalla proprietà universale degli anelli di polinomi* per cui, se \(\varphi:R\to A\) è un omomorfismo di anelli commutativi e \(\sigma: (\mathbb{N}^{(I)},+)\to (A,\cdot),\mu\mapsto x^{\mu}:=\prod_{i\in I}x_i^{\mu_i}\)** un omomorfismo di monoidi, esiste un (unico) omomorfismo di anelli \(\Phi:R[\mathfrak{X}]\to A\) tale che \(\Phi|_{R}=\varphi\) e \(\Phi(\mathfrak{X}^\mu) =\sigma(\mu)=\prod_{i\in I}x_i^{\mu_i} \), direi che discenda evidentemente che \(\Phi(R[\mathfrak{X}])=A\) e quindi, grazie al teorema di omomorfismo, \(A\xrightarrow{\sim}R[\mathfrak{X}]/\ker\Phi\) è un isomorfismo di anelli, che è, evidentemente per come trasforma $R$, anche un isomorfismo di $R$-algebre se $\phi:R\to A$ è l'omomorfismo che definisce $A$ come $R$-algebra, quindi, chiamando \(\mathfrak{a}\) il nucleo \(\ker\Phi\), mi pare che sia evidente il significato di identificare ogni $R$-algebra con un \(R[\mathfrak{X}]/\mathfrak{a}\).
Sembra giusto?
\(\infty\) grazie a tutti!
*Sia $\phi:R\to R'$ un omomorfismo di anelli commutativi e sia $\sigma:M\to R'$ un omomorfismo di monoidi considerando $R'$ monoide rispetto alla moltiplicazione di anello. Esiste allora un unico omomorfismo di anelli \(\Phi:R[M]\to R'\) tale che \(\Phi|_{R}=\varphi\) e \(\Phi(X^\mu)=\sigma(\mu)\) per ogni $\mu\in M$.
**Quasi tutti i $\mu_i$ nulli, come mi faceva notare j18eos, che ringrazio ancora se passasse da queste parti.
Risposte
Pagina 450, Bourbaki, Algebra 1, Chapter III, sezione 2, sottosezione 8: definition of an algebra by generators and relations.
Esattamente la referenza che ti serve. Una referenza che ti puoi procurare facilmente.
Se qualcuno ha un'altra referenza è il benvenuto.
Esattamente la referenza che ti serve. Una referenza che ti puoi procurare facilmente.
Se qualcuno ha un'altra referenza è il benvenuto.
Sono in treno e quindi non troppo concentrato, ma mi sembra che il tuo discorso sia coerente. Comunque intuitivamente quello che vai a fare è considerare un insieme di generatori e quindi consideri prodotti e somme finite tra di loro. Quello che ti viene fuori è l'insieme dei polinomi in quelle variabili.
$\infty$ grazie a tutti e due, ragazzi!!!
"Leonardo89":
Pagina 450, Bourbaki, Algebra 1, Chapter III, sezione 2, sottosezione 8: definition of an algebra by generators and relations.
Esattamente la referenza che ti serve. Una referenza che ti puoi procurare facilmente.
Se qualcuno ha un'altra referenza è il benvenuto.
Vergognati, non si legge (né si cita) Bourbaki in inglese.
Quello che stai facendo credo si possa leggere come un caso particolare di una costruzione che si fa per le teorie algebriche: ogni oggetto di una teoria è in senso opportuno ottenibile da un quoziente di un oggetto libero. E' probabile che a un certo punto tu senta la parola monade, e che tu cominci a chiederti che relazione ci sia tra le varie costruzioni che ti danno un oggetto libero $L$ in possesso di una certa struttura (hai notato che si fanno circa tutte allo stesso modo? Dai magmi verso le $R$-algebre, si tratta sempre di definire un opportuno coprodotto).
$\infty$ grazie anche a te per l'aggiunta, killing_buddha, e buon 2014!!!
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