Quozienti e ideali
Salve. Ho un problema:
Determinare gli elementi invertibili in $Q[x]$/$(x^2-1)$
io ho ragionato cosi:
considero un generico elemento del quoziente:
$$ax+b+(x^2-1)$$
esso è invertibile se e solo se $\exists cx+d+(x^2-1)$ tale che $(ax+b+(x^2-1))(cx+d+(x^2-1))=1+(x^2-1)$
ovvero svolgendo i conti se e solo se:
$acx^2+(ad+bc)x+bd+(x^2-1)=1+(x^2-1)$
ovvero se e solo se:
$\{ac=0,ad+bc=0,bd=1$
in particolare l'ultima condizione mi dice che $b$ deve essere invertibile in $QQ$.
Moltiplicando per $a$ la seconda equazione deduco che:
$ad+bc=0 \Rightarrow a^2d+acb=0 \Rightarrow a^2d=0 \Rightarrow a^2=0$ o$ d=0$
$d=0$ è impossibile poiché $d$ deve essere l'inverso di b.
Dunque $a^2=0 \Rightarrow a=0$
per cui gli elementi invertibili sono della forma $b+(x^2-1)$ con $b \ne 0$
E' corretto? voi come lo avreste risolto?
Determinare gli elementi invertibili in $Q[x]$/$(x^2-1)$
io ho ragionato cosi:
considero un generico elemento del quoziente:
$$ax+b+(x^2-1)$$
esso è invertibile se e solo se $\exists cx+d+(x^2-1)$ tale che $(ax+b+(x^2-1))(cx+d+(x^2-1))=1+(x^2-1)$
ovvero svolgendo i conti se e solo se:
$acx^2+(ad+bc)x+bd+(x^2-1)=1+(x^2-1)$
ovvero se e solo se:
$\{ac=0,ad+bc=0,bd=1$
in particolare l'ultima condizione mi dice che $b$ deve essere invertibile in $QQ$.
Moltiplicando per $a$ la seconda equazione deduco che:
$ad+bc=0 \Rightarrow a^2d+acb=0 \Rightarrow a^2d=0 \Rightarrow a^2=0$ o$ d=0$
$d=0$ è impossibile poiché $d$ deve essere l'inverso di b.
Dunque $a^2=0 \Rightarrow a=0$
per cui gli elementi invertibili sono della forma $b+(x^2-1)$ con $b \ne 0$
E' corretto? voi come lo avreste risolto?
Risposte
È sbagliato, ricorda che nel quoziente $x^2=1$.
dunque quando risolvo il sistema devo imporre
$ac+bd=1$ e $ad+bc=0$
$ac+bd=1$ e $ad+bc=0$
Il problema è che per risolvere questo problema ti occorre sapere un po' di teoria.
La teoria ti dice questo:
Se hai un polinomio $P(X)$ a coefficienti in $QQ$, nell'anello [tex]A = \mathbb{Q}[X]/(P(X))[/tex] un elemento $A(X)+(P(X))$ è invertibile se e solo se $A(X)$ e $P(X)$ sono coprimi.
Dimostrazione: se $A(X)$ e $P(X)$ non sono coprimi allora esiste una radice comune $a \in CC$. D'altra parte essendo $A(X)$ invertibile si ha $A(X)B(X)-1=P(X)R(X)$ per opportuni $B,R$. Sostituendo $X=a$ si ottiene $-1=0$, assurdo. Viceversa se $A(X)$ e $P(X)$ sono coprimi allora per l'algoritmo di Euclide esistono $H(X),K(X)$ con $A(X)H(X)+P(X)K(X)=1$ e riducendo modulo $P(X)$ si ottiene $A(X)H(X)=1$ modulo $P(X)$, quindi $A(X)$ è invertibile modulo $P(X)$.
Nel tuo caso $P(X)=X^2-1$ quindi un elemento $A(X)+(P(X))$ (dove $A(X)$ ha grado 1) è invertibile se e solo se $A(X)$ è coprimo con $X^2-1$, cioè se $A(1) ne 0$, $A(-1) ne 0$.
La teoria ti dice questo:
Se hai un polinomio $P(X)$ a coefficienti in $QQ$, nell'anello [tex]A = \mathbb{Q}[X]/(P(X))[/tex] un elemento $A(X)+(P(X))$ è invertibile se e solo se $A(X)$ e $P(X)$ sono coprimi.
Dimostrazione: se $A(X)$ e $P(X)$ non sono coprimi allora esiste una radice comune $a \in CC$. D'altra parte essendo $A(X)$ invertibile si ha $A(X)B(X)-1=P(X)R(X)$ per opportuni $B,R$. Sostituendo $X=a$ si ottiene $-1=0$, assurdo. Viceversa se $A(X)$ e $P(X)$ sono coprimi allora per l'algoritmo di Euclide esistono $H(X),K(X)$ con $A(X)H(X)+P(X)K(X)=1$ e riducendo modulo $P(X)$ si ottiene $A(X)H(X)=1$ modulo $P(X)$, quindi $A(X)$ è invertibile modulo $P(X)$.
Nel tuo caso $P(X)=X^2-1$ quindi un elemento $A(X)+(P(X))$ (dove $A(X)$ ha grado 1) è invertibile se e solo se $A(X)$ è coprimo con $X^2-1$, cioè se $A(1) ne 0$, $A(-1) ne 0$.
si è vero grazie
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