Quozienti di $ZZ[sqrt(10)]$

[Angus1956]

Consideriamo l’anello $A=ZZ[sqrt(10)]$. Per ogni primo $p$ mostrare che esistono al più due ideali $I$ di $A$ tale che $A_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/p)$.
Se $A_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/p)$ allora esiste un omomorfismo suriettivo $\varphi:A->ZZ_(/p)$ tale che $Ker\varphi=I$. Quindi mi basta mostrare che posso trovare al più due omomorfismi suriettivi da $A$ a $ZZ_(/p)$. Se $ainZZ$ allora $\varphi(a)=[a]_(p)$. Quindi devo trovare $\varphi(sqrt(10))$. Abbiamo che $\varphi^2(sqrt(10))=\varphi(10)=[10]_(p)$. Devo trovare quindi gli elementi di $ZZ_(/p)$ che elevati al quadrato fanno $10$, in particolare ognuno di questi elementi mi determina un omomorfismo suriettivo da $A$ a $ZZ_(/p)$ e quindi devo mostrare che esistono al più $2$ elementi di $ZZ_(/p)$ che al quadrato fanno $10$. Avevo pensato di provare questo ragionando per assurdo (quindi supponendo che esistano almeno $3$ elementi che al quadrato fanno $10$) ma non sono ancora riuscito a provarlo, qualcuno può aiutarmi?

[hydro1]

\(K=\mathbb Z/p\mathbb Z\) è un campo. Quante radici ha il polinomio $x^2-10$ in $K$?

[Angus1956]

"hydro":\(K=\mathbb Z/p\mathbb Z\) è un campo. Quante radici ha il polinomio $x^2-10$ in $K$?

A giusto siccome $ZZ_(/p)$ è un campo (poichè $p$ è primo) allora il numero di radici distinte di un polinomio è al più il grado del polinomio e quindi in questo caso siccome il polinomio è $x^2-10$ abbiamo al più $2$ radici distinte e quindi al più $2$ elementi distinti che al quadrato danno $10$. Grazie non ci avevo pensato lì per lì.