Quozienti di prodotti semidiretti

[isaac888]

Salve a tutti.
Supponiamo di avere un gruppo $G$ che si possa spezzare come $A \rtimes_{\varphi} B$ e sia $K$ normale in $A$ (naturalmente lo sarà anche in $G$). Allora dico che (non so se è vero! Sono congetture mie)

1) Esiste ed è ben definito un $\bar{\varphi} : B \rightarrow Aut(A//K)$ omomorfismo tale che $\bar{\varphi}(b): [a]_{K} \mapsto [bab^{-1}]_K=[\varphi_{b}(a)]_K$, dove $\varphi_{b}=\varphi(b)$.

2) $(A//K) \rtimes_{\bar{\varphi}}B$ è un gruppo.

3) $(A//K) \rtimes_{\bar{\varphi}}B$ è isomorfo ad un sottogruppo $L \rtimes_{\varphi} B$ di $G$, dove $L$ è un sottogruppo di $A$ che contiene $K$.

Mi sapete dire per favore se vi torna? Io intanto sto tentando di dimostrarlo o di smentirlo.

PS: Credo di aver dimostrato tutto. L'enunciato mi sembra anche piuttosto rigoroso (spero).
Mi sento di aggiungere anche un punto 4 che sfrutta i punti precedenti:

4) $L \rtimes_{\varphi}B$ è isomorfo ad $(A//K) \rtimes_{\varphi}B$ ed $(A \rtimes_{\varphi}B)//K$ (dove identifichiamo $K$ con $K\times{e_B}$ visto che è chiaro che $K
Grazie in anticipo

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Il fatto che $K$ sia normale in $A$ non implica che lo sia in $G$. Come esempio puoi prendere $G=S_4$ (gruppo simmetrico di grado $4$), $A$ il gruppo di Klein ${(1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$, e $K={1,(12)(34)}$. Qui $K$ è normale in $A$ ma non in $G$, e come è noto $G$ si spezza come [tex]A \rtimes S_3[/tex].

Per il punto (1), ti serve che $K$ sia $phi_b$-invariante (cioè che $phi_b(K)=K$) per ogni $b in B$, altrimenti è falso. Pensa al caso in cui $a in K$.

Questo è equivalente a chiedere che $K$ sia normale in $G$.

Per i punti successivi assumerò che $K$ sia normale in $G$. Il punto 2 è ok, quel gruppo è esattamente il quoziente $G//K$.

Il punto 3 non va bene, quello è un quoziente di $G$, non un sottogruppo. E anche il punto 4 è molto confuso.

[isaac888]

Ok grazie, allora tolgo il punto 3 e di conseguenza anche il 4.
Con le tue correzioni sulla normalità di $K$ in $G$ faccio questo ragionamento. Supponiamo che:

i) $H ii) $H\supseteq K$ ;

Vorrei dire qualcosa sulla struttura del sottogruppo $H$. Penso al teorema di corrispondenza fra gruppi ed allora so che $\exists!$ $D<(A//K)\rtimes_{\bar{\varphi}}B$ (gruppo quoziente) che corrisponde ad $H$.
Ora ho 2 casi: $K=A$ e $K\subsetA$ (nelle mie ipotesi del post $K\subseteq A$, oltre che essere normale in $G$).

Ad esempio, nel caso $K=A$ ho che $D

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Scusa ma mi sembra che ci sia un po' di confusione. Se $G=AB$ con $A$ normale in $G$ e $A nn B ={1}$ (è questo che significa prodotto semidiretto) allora i sottogruppi $H$ di $G$ contenenti $A$ sono del tipo $H=AL$ con $L$ sottogruppo di $B$, per la precisione $L=H nn B$ (lo puoi dimostrare usando la legge modulare di Dedekind).

Adesso se prendi $K$ normale in $G$ e contenuto propriamente in $A$ allora studiare i sottogruppi di $G//K$, che è un prodotto semidiretto tra $A//K$ e $B$, è a tutti gli effetti equivalente a studiare i sottogruppi di un prodotto semidiretto in generale. Per quanto ne so questo è un problema troppo generale e non ha una soluzione uniforme.

PS. Per favore quando rispondi cita solo le parti a cui stai rispondendo! Che senso ha citare tutto il messaggio?

[isaac888]

"Martino":PS. Per favore quando rispondi cita solo le parti a cui stai rispondendo! Che senso ha citare tutto il messaggio?

Hai ragione, non serve a niente. E' una mia abitudine. La tolgo subito.
Dimmi se ho capito bene per favore:

In base al tuo ultimo post se $K=A$ e $D
Se in generale $K\subset A$ voglio dire a quale sottogruppo $H
Posso sfruttare la corrispondenza tra i sottogruppi $W$ di $A$ che contengono $K$ e i sottogruppi di $A//K$ che sono a loro volta sottogruppi di $G//K$.

Dunque posso dire che gli $H
Su $L$ ho altre restrizioni a parte essere sottogruppo di $B\capH$? Posso stare tranquillo che la corrispondenza sia rispettata o devo aggiungere altro?

grazie

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Sono tutte domande legittime, ma mi sembra di capire che i tuoi dubbi si applichino pari-pari al caso dei prodotti diretti, che è molto più facile da capire e a dire la verità ti consiglio di pensare ai prodotti diretti prima di inoltrarti nei prodotti semidiretti. Quello che voglio dire è che se ti poni le stesse domande sui prodotti diretti ti accorgerai dell'esistenza di facili controesempi.

"Isaac888":In base al tuo ultimo post se $K=A$ e $DSì.

Se in generale $K\subset A$ voglio dire a quale sottogruppo $H
Posso sfruttare la corrispondenza tra i sottogruppi $W$ di $A$ che contengono $K$ e i sottogruppi di $A//K$ che sono a loro volta sottogruppi di $G//K$.

Dunque posso dire che gli $HNo, non è così. Guarda per capire prova a porre $K={1}$. In questo caso particolare staresti dicendo che i sottogruppi di [tex]A \rtimes B[/tex] sono tutti del tipo [tex]W \rtimes L[/tex] dove $W$ è sottogruppo di $A$ e $L$ è sottogruppo di $B$. Questo è falso, ma tra l'altro è falso anche per i prodotti diretti. Come facile controesempio prendi $C_2 xx C_2$ (prodotto diretto tra $C_2$ e $C_2$, dove $C_2$ indica un gruppo ciclico di ordine $2$), questo ha gli ovvi sottogruppi $C_2 xx 1$ e $1 xx C_2$, oltre al sottogruppo banale $1 xx 1$, ma ha anche un sottogruppo "diagonale" che è ${(1,1),(a,a)}$ (dove $a$ è il generatore di $C_2$). Quello che voglio dire è che in generale non è vero che i sottogruppi di $A xx B$ sono tutti del tipo $W xx L$ con $W$ sottogruppo di $A$ e $L$ sottogruppo di $B$.

Su $L$ ho altre restrizioni a parte essere sottogruppo di $B\capH$? Posso stare tranquillo che la corrispondenza sia rispettata o devo aggiungere altro?

Qui non so più di cosa stai parlando, comunque nel post precedente ho scritto che $L$ è proprio uguale a $B nn H$ (non solo contenuto).

Quello che ho scritto è che nel caso particolare in cui $K=A$ hai che i sottogruppi $H$ del prodotto semidiretto $AB$ contenenti $A$ sono del tipo $AL$ dove $L=H nn B$.