Quozienti di K[x] con K campo
Ciao a tutti
Ho due dubbi sui quozienti del tipo $ K[x] // (f) $ con K campo e f polinomio a coefficienti in K di grado non nullo
1) ho visto a lezione che se f è irriducibile allora il quoziente è uno spazio vettoriale su K di dimensione pari al grado di f. Mi stavo chiedendo se ciò vale anche quando f non è irriducibile
2) Nel caso in cui f sia irriducibile di grado 2, allora penso f come polinomio minimo di un elemento u di un'estensione F di K che si algebrico su K. Allora $ K[x] // (f) $ è isomorfo a $ K(u) $ e nell'estensione $ K(u) $ ritrovo la radice u. Ma ci trovo anche l'altra radice di f (chiamiamola v)? posso dire che $ K(u) = K(v) = K(u,v) $?.
Grazie ciao!
Ho due dubbi sui quozienti del tipo $ K[x] // (f) $ con K campo e f polinomio a coefficienti in K di grado non nullo
1) ho visto a lezione che se f è irriducibile allora il quoziente è uno spazio vettoriale su K di dimensione pari al grado di f. Mi stavo chiedendo se ciò vale anche quando f non è irriducibile
2) Nel caso in cui f sia irriducibile di grado 2, allora penso f come polinomio minimo di un elemento u di un'estensione F di K che si algebrico su K. Allora $ K[x] // (f) $ è isomorfo a $ K(u) $ e nell'estensione $ K(u) $ ritrovo la radice u. Ma ci trovo anche l'altra radice di f (chiamiamola v)? posso dire che $ K(u) = K(v) = K(u,v) $?.
Grazie ciao!
Risposte
"LLLorenzzz":Certo.
1) ho visto a lezione che se f è irriducibile allora il quoziente è uno spazio vettoriale su K di dimensione pari al grado di f. Mi stavo chiedendo se ciò vale anche quando f non è irriducibile
2) Nel caso in cui f sia irriducibile di grado 2, allora penso f come polinomio minimo di un elemento u di un'estensione F di K che si algebrico su K. Allora $ K[x] // (f) $ è isomorfo a $ K(u) $ e nell'estensione $ K(u) $ ritrovo la radice u. Ma ci trovo anche l'altra radice di f (chiamiamola v)? posso dire che $ K(u) = K(v) = K(u,v) $?Sì, perché riesci a scomporre il polinomio su $K(u)$ usando Ruffini. Nota però che già per il grado 3 non è più vero.
Dimenticavo: benvenuto nel forum!
Grazie mille ciao!
Ma se quoziento per un polinomio riducibile, ad esempio [tex]$ \frac{Q[x]}{(x^2-2x+1)} $[/tex], Questo non è un campo perché $(x-1)$ è zerodivisore, infatti $(x-1)(x-1)=0$.
Spero di non aver detto sciocchezze, infatti la mia è una domanda: è giusto?
Spero di non aver detto sciocchezze, infatti la mia è una domanda: è giusto?
"angus89":Giusto. Ma rimane uno spazio vettoriale sul campo base (nel tuo caso Q).
Ma se quoziento per un polinomio riducibile, ad esempio [tex]$ \frac{Q[x]}{(x^2-2x+1)} $[/tex], Questo non è un campo perché $(x-1)$ è zerodivisore, infatti $(x-1)(x-1)=0$.
Spero di non aver detto sciocchezze, infatti la mia è una domanda: è giusto?
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