Quozienti di gruppi e sottogruppi normali
buona domenica a tutti
studiando la teoria dei gruppi, mi sono imbattuto nella seguente proposizione:
TEOREMA: se\(\displaystyle A \) è un gruppo e \(\displaystyle H \) un suo sottogruppo normale, allora ogni sottogruppo del gruppo quoziente \(\displaystyle \frac{A}{ H} \) è della forma \(\displaystyle \frac{K}{ H} \) con \(\displaystyle K \supseteq H \) sottogruppo di \(\displaystyle A \).
Ora, la dimostrazione è a grandi linee questa: dato un sottogruppo \(\displaystyle K \) come sopra, allora \(\displaystyle \frac{K}{H} \) è la sua immagine tramite la proiezione canonica; dato che questa è un omomorfismo di gruppi, segue la tesi. Viceversa, se \(\displaystyle S \) è un sottogruppo di \(\displaystyle \frac{K}{H} \), allora la sua controimmagine tramite la proiezione \(\displaystyle p^{-1}(S)=K \) è un gruppo che contiene \(\displaystyle H \), e quindi dal primo punto segue la tesi.
Ora io mi chiedo: ma uno non dovrebbe dimostrare prima che \(\displaystyle \frac{K}{H} \) è un sottoinsieme di \(\displaystyle \frac{A}{H} \), ovvero che le classi degli elementi pensati prima come elementi di \(\displaystyle A \) è poi come elementi di \(\displaystyle K \) coincidono? O forse quello che dico è solo una banalità che "si vede" e non necessita poi di una rigorosa dimostrazione?
Grazie a tutti
studiando la teoria dei gruppi, mi sono imbattuto nella seguente proposizione:
TEOREMA: se\(\displaystyle A \) è un gruppo e \(\displaystyle H \) un suo sottogruppo normale, allora ogni sottogruppo del gruppo quoziente \(\displaystyle \frac{A}{ H} \) è della forma \(\displaystyle \frac{K}{ H} \) con \(\displaystyle K \supseteq H \) sottogruppo di \(\displaystyle A \).
Ora, la dimostrazione è a grandi linee questa: dato un sottogruppo \(\displaystyle K \) come sopra, allora \(\displaystyle \frac{K}{H} \) è la sua immagine tramite la proiezione canonica; dato che questa è un omomorfismo di gruppi, segue la tesi. Viceversa, se \(\displaystyle S \) è un sottogruppo di \(\displaystyle \frac{K}{H} \), allora la sua controimmagine tramite la proiezione \(\displaystyle p^{-1}(S)=K \) è un gruppo che contiene \(\displaystyle H \), e quindi dal primo punto segue la tesi.
Ora io mi chiedo: ma uno non dovrebbe dimostrare prima che \(\displaystyle \frac{K}{H} \) è un sottoinsieme di \(\displaystyle \frac{A}{H} \), ovvero che le classi degli elementi pensati prima come elementi di \(\displaystyle A \) è poi come elementi di \(\displaystyle K \) coincidono? O forse quello che dico è solo una banalità che "si vede" e non necessita poi di una rigorosa dimostrazione?
Grazie a tutti
Risposte
In effetti, quello che dici ha senso, ma prima di rivelarti l'arcano vorrei che rispondessi ad una domanda, perché mi piacerebbe che alla fine trovassi la soluzione da solo.
Dimmi: chi è [tex]K/H[/tex]? Qual è la sua definizione, per te?
Dimmi: chi è [tex]K/H[/tex]? Qual è la sua definizione, per te?
"maurer":
In effetti, quello che dici ha senso, ma prima di rivelarti l'arcano vorrei che rispondessi ad una domanda, perché mi piacerebbe che alla fine trovassi la soluzione da solo.
Dimmi: chi è [tex]K/H[/tex]? Qual è la sua definizione, per te?
effettivamente, io l'avevo dimostrato usando la definizione di classe \(\displaystyle [x]=\{y | y \in A \wedge x - y \in H\} \) e quindi le due definizioni se quoziento \(\displaystyle K \) o \(\displaystyle A \) sono diverse (poi si dimostrano essere equivalenti), ma in effetti se consideriamo equivalentemente le classi come laterali, ovvero \(\displaystyle [x]=x + H=H + x \) (supponendo che sia normale eh) , ovviamente si vede subito che le due classi (in K e in A) sono lo stesso insieme
devo imparare a sbatterci di più la testa e a non farmi salvare ogni volta da te, maurer
Quello è un modo per rispondere, bravo. Ne propongo un'altro, che da un certo punto di vista è più "profondo".
Io pensavo a qualcosa di leggermente diverso, in realtà. Per me [tex]K/H[/tex] è l'immagine omomorfa di [tex]K[/tex] in [tex]A/H[/tex] tramite il morfismo di proiezione canonica [tex]\pi \colon A \to A / H[/tex]. Vedi che in questo modo [tex]K/H \subset A / H[/tex] è sostanzialmente gratis.
L'altra cosa che si può fare e che alla fine credo sia quello che ha innescato la domanda iniziale è di considerare [tex]H \unlhd K[/tex] e quindi [tex]K/H[/tex] ha senso a prenscidere dal fatto che [tex]K \le A[/tex]. In questo senso, ti stai chiedendo se un diagramma sta commutando. Lo disegno con TexTheWorld perché al momento attuale il forum ha problemi con il pacchetto xy:
[;\xymatrix{ K \ar[d]^{\pi^K_H} \ar[r]^j & A \ar[d]^{\pi^A_H} \\ K/H \ar@{.>}[r]^{j_*} & A/H };]
La mappa [tex]j_*[/tex] è indotta dalla mappa di inclusione canonica [tex]j[/tex]. Ti invito a riflettere sul modo in cui questa mappa [tex]j_*[/tex] è costruita (alla fin fine è la proprietà universale del quoziente). E ti invito a controllare, una volta che hai definito esplicitamente la [tex]j_*[/tex], che il diagramma commuti.
Sono abbastanza convinto che questo, una volta risolto, ti chiarirà definitivamente ogni sorta di dubbio.
Io pensavo a qualcosa di leggermente diverso, in realtà. Per me [tex]K/H[/tex] è l'immagine omomorfa di [tex]K[/tex] in [tex]A/H[/tex] tramite il morfismo di proiezione canonica [tex]\pi \colon A \to A / H[/tex]. Vedi che in questo modo [tex]K/H \subset A / H[/tex] è sostanzialmente gratis.
L'altra cosa che si può fare e che alla fine credo sia quello che ha innescato la domanda iniziale è di considerare [tex]H \unlhd K[/tex] e quindi [tex]K/H[/tex] ha senso a prenscidere dal fatto che [tex]K \le A[/tex]. In questo senso, ti stai chiedendo se un diagramma sta commutando. Lo disegno con TexTheWorld perché al momento attuale il forum ha problemi con il pacchetto xy:
[;\xymatrix{ K \ar[d]^{\pi^K_H} \ar[r]^j & A \ar[d]^{\pi^A_H} \\ K/H \ar@{.>}[r]^{j_*} & A/H };]
La mappa [tex]j_*[/tex] è indotta dalla mappa di inclusione canonica [tex]j[/tex]. Ti invito a riflettere sul modo in cui questa mappa [tex]j_*[/tex] è costruita (alla fin fine è la proprietà universale del quoziente). E ti invito a controllare, una volta che hai definito esplicitamente la [tex]j_*[/tex], che il diagramma commuti.
Sono abbastanza convinto che questo, una volta risolto, ti chiarirà definitivamente ogni sorta di dubbio.
mauer, non so se ho capito bene
se gli elementi di \(\displaystyle K / H \) sono i laterali della forma \(\displaystyle x + H \) con \(\displaystyle x \in K \), e dunque \(\displaystyle j^* \) è proprio l'immersione canonica di gruppi. Ma è del tutto uguale a quello che ho detto nel precedente messaggio, o sbaglio?
non credo di aver colto...
se gli elementi di \(\displaystyle K / H \) sono i laterali della forma \(\displaystyle x + H \) con \(\displaystyle x \in K \), e dunque \(\displaystyle j^* \) è proprio l'immersione canonica di gruppi. Ma è del tutto uguale a quello che ho detto nel precedente messaggio, o sbaglio?
non credo di aver colto...
Sostanzialmente sì, ma io ci colgo una leggera sfumatura. Non importa, basta che il tuo dubbio sia risolto...
ho notato questa tendenza a "diagrammare" tutto in questa parte dell'algebra grazie!
grazie!
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