Quoziente sul centro

[Pappappero1]

Consideriamo un gruppo $G$ e sia $Z=Z(G)$ il suo centro.

E' noto che il quoziente $G/Z$ non può essere ciclico a meno che il gruppo non sia abeliano e in tal caso $G/Z$ sarà banale.

Di questo fatto io sono riuscito a dare una dimostrazione elementare che apparentemente non fa uso di nessun risultato di teoria dei gruppi. La inserisco in spoiler:

Supponiamo per assurdo $G/Z = < gZ >$ ciclico non banale.

Fissiamo $a \notin Z$ e sia $b \in G$ generico. Si ha che $\exists n,m \in \NN$ t.c. $aZ = g^n Z$ e $bZ = g^m Z$

Dunque $\exists z_a , z_b \in Z$ t.c. $a=g^n z_a$ e $b=g^m z_b$

A questo punto è evidente $ab=g^n z_a g^m z_b = g^m z_b g^n z_a=ba$.

Dunque $a$ commuta con $b$ $\forall b \in G$ e dunque $a \in Z$ contro l'ipotesi che avevamo fatto inizialmente.

Dall'assurdo segue che $G/Z$ è ciclico sse è banale.

Avete qualche idea per fare una dimostrazione usando i primi risultati di teoria dei gruppi (per intendersi i tre teoremi di omomorfismo e il teorema di corrispondenza) e che sia un po' meno 'contereccia' di quella proposta da me? Grazie.

[Lorin1]

Io ho una dimostrazione simile sui miei appunti quando ho seguito il corso di Algebra. Ricordo che il prof ce lo diede come esercizio.

[mistake89]

Teorema: Il centro non può essere un sottogruppo massimale.
Il tuo risultato credo che sarebbe un corollario.

[Pappappero1]

Credo piuttosto che il fatto che non possa essere un sottogruppo massimale sia una conseguenza del fatto che il quoziente non possa essere ciclico.

Infatti se un sottogruppo normale è massimale il quoziente corrispondente deve essere necessariamente ciclico di ordine primo, altrimenti con Lemma di Cauchy e Teorema di Corrispondenza si arriverebbe facilmente a un assurdo.

D'altra parte il teorema in questione credo garantisca solo che il quoziente sul centro non possa essere di ordine primo, ma non vieta che sia un ciclico di ordine non primo.

In ogni caso mi potreste indicare una dimostrazione di "Il centro non può essere un sottogruppo massimale" che non faccia uso del fatto che il quoziente su di esso non può essere ciclico.

[mistake89]

"Pappappero":Credo piuttosto che il fatto che non possa essere un sottogruppo massimale sia una conseguenza del fatto che il quoziente non possa essere ciclico.

Infatti se un sottogruppo normale è massimale il quoziente corrispondente deve essere necessariamente ciclico di ordine primo, altrimenti con Lemma di Cauchy e Teorema di Corrispondenza si arriverebbe facilmente a un assurdo.

Beh, puoi dimostrarlo prescindendo da questo. Guarda qui pagina 32 lemma 3 (spero che Martino non si arrabbi!)

D'altra parte il teorema in questione credo garantisca solo che il quoziente sul centro non possa essere di ordine primo, ma non vieta che sia un ciclico di ordine non primo.

Su questo invece credo che tu abbia ragione. Così facendo escludiamo solamente il fatto che esso abbia ordine non primo.

[Pappappero1]

Beh, puoi dimostrarlo prescindendo da questo. Guarda qui pagina 32 lemma 3 (spero che Martino non si arrabbi!) Razz

ok..questo va bene...

Resta il fatto che la 'non massimalità' del centro non implica in modo immediato che il quoziente non sia ciclico. Per dimostrarlo basta fare un conto analogo a quello che ho proposto nel primo post, ma è proprio questo che volevo evitare.

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"Pappappero":è proprio questo che volevo evitare.

Non so, io non trovo dimostrazioni più semplici della tua.