Quoziente ideale generato da polinomi
Ciao a tutti,
Riprendendo uno degli ultimi argomenti del corso di Algebra I, mi sono imbattuto nella richiesta di trovare la cardinalità dell'insieme $ (A[x])/I $, dove $I$ è l'ideale generato dal polinomio $x^4+2x^3+x^2+2x$ e $A$ è $ZZ/(3ZZ)$.
Ho opportunamente fattorizzato in fattori irriducibili il polinomio in questione arrivando a $ x(x+1)(x-1)(x+2)$ ma poi non sono in grado di procedere. A questo punto penso mi manchi qualche pezzo sul come è fatto il quoziente, ma non riesco a venirne fuori.
Qualcuno a cui vada di darmi qualche spunto o indicazione? grazie mille
Riprendendo uno degli ultimi argomenti del corso di Algebra I, mi sono imbattuto nella richiesta di trovare la cardinalità dell'insieme $ (A[x])/I $, dove $I$ è l'ideale generato dal polinomio $x^4+2x^3+x^2+2x$ e $A$ è $ZZ/(3ZZ)$.
Ho opportunamente fattorizzato in fattori irriducibili il polinomio in questione arrivando a $ x(x+1)(x-1)(x+2)$ ma poi non sono in grado di procedere. A questo punto penso mi manchi qualche pezzo sul come è fatto il quoziente, ma non riesco a venirne fuori.
Qualcuno a cui vada di darmi qualche spunto o indicazione? grazie mille
Risposte
Intanto la fattorizzazione è sbagliata, quella giusta è $x(x+2)(x^2+1)$.
A parte questo, non hai bisogno di sapere qual è la struttura del quoziente per sapere la sua cardinalità. In generale, prova a dimostrare la seguente affermazione: se $K$ è un campo e $f\in K[x]$ ha grado $n\geq 1$, esiste una biiezione tra il quoziente ${K[x]}/{(f)}$ e l'insieme $\{\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i:a_i\in K\}$.
La struttura di quel quoziente la puoi facilmente ricavare con il teorema cinese del resto: se $I,J$ sono ideali di un anello commutativo con unità $R$ e $I+J=R$, allora esiste un isomorfismo $R/{IJ}\to R/I\times R/J$.
A parte questo, non hai bisogno di sapere qual è la struttura del quoziente per sapere la sua cardinalità. In generale, prova a dimostrare la seguente affermazione: se $K$ è un campo e $f\in K[x]$ ha grado $n\geq 1$, esiste una biiezione tra il quoziente ${K[x]}/{(f)}$ e l'insieme $\{\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i:a_i\in K\}$.
La struttura di quel quoziente la puoi facilmente ricavare con il teorema cinese del resto: se $I,J$ sono ideali di un anello commutativo con unità $R$ e $I+J=R$, allora esiste un isomorfismo $R/{IJ}\to R/I\times R/J$.
Intanto @hydro grazie mille per la risposta.
A tal proposito mi ricollego al fatto della fattorizzazione inserendo un dubbio al quale però hai praticamente risposto. Infatti in più occasioni, compresi temi d'esame(e questo mi ha spinto a pensare che non fosse una svista), ho ritrovato fattorizzato $(x^2+1)$ come $(x+1)(x-1)$ in $ZZ/(3ZZ)$.
Anche se l'ho sempre vista con perplessità, vista la mancanza di radici ed essendo di secondo grado, c'è davvero una qualche giustificazione che porti ad una simili fattorizzazione?
Tornando al quoziente.. mi basta perciò identificare tutti i polinomi di grado inferiore a quello dato (poiché effettivamente si tratta di classi di resto) e coefficienti in $A$. Le possibili combinazioni mi danno la cardinalità di $(A[x])/I$, quindi $3^4$. Corretto?
A tal proposito mi ricollego al fatto della fattorizzazione inserendo un dubbio al quale però hai praticamente risposto. Infatti in più occasioni, compresi temi d'esame(e questo mi ha spinto a pensare che non fosse una svista), ho ritrovato fattorizzato $(x^2+1)$ come $(x+1)(x-1)$ in $ZZ/(3ZZ)$.
Anche se l'ho sempre vista con perplessità, vista la mancanza di radici ed essendo di secondo grado, c'è davvero una qualche giustificazione che porti ad una simili fattorizzazione?
Tornando al quoziente.. mi basta perciò identificare tutti i polinomi di grado inferiore a quello dato (poiché effettivamente si tratta di classi di resto) e coefficienti in $A$. Le possibili combinazioni mi danno la cardinalità di $(A[x])/I$, quindi $3^4$. Corretto?
$x^2+1$ e $(x+1)(x-1)$ sono decisamente polinomi diversi in $\mathbb F_3[x]$. Se qualcuno ha scritto che coincidono, ha sbagliato.
Esatto, sono $3^4$ elementi.
Esatto, sono $3^4$ elementi.
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