"Omotopia" tra funtori
Voglio dimostrare che le trasformazioni naturali \( F\Rightarrow G \) tra due funtori \( \mathit C\to\mathit D \) sono in corrispondenza biunivoca con i funtori \( \mathit C\times\mathit 2\to\mathit D \), dove \( \mathit 2 \) è l'ordinale \( 2 \), che fanno commutare il seguente
dove \( i_0 \) e \( i_1 \) sono i funtori di inclusione ovvi.
Data una trasformazione naturale \( \alpha\colon F\Rightarrow G \), definisco \( H\colon{\mathit C\times\mathit 2}\to\mathit D \) per casi, come
\[
(c,i)\mapsto\begin{cases}Fc & \text{se $ i = 0 $}\\Gc & \text{se $ i = 1 $}\end{cases}\qquad f\mapsto\begin{cases}Ff & \text{se $ i = i^\prime = 0 $}\\Gf & \text{se $ i = i^\prime = 1 $}\\Gf\circ\alpha_c & \text{se $ i = 0$ e $ i^\prime = 1 $}\end{cases}
\] per ogni morfismo \( f\colon(c,i)\to(c^\prime,i^\prime) \), dove \( \alpha_c \) è una componente della trasformazione naturale \( F\rightarrow G \) che si visualizza meglio nel diagramma
Che se \( H \) è un funtore quella condizione è soddisfatta è assolutamente vero. Verificare che \( H \) lo è, un funtore, però mi sembra più complicato, per la natura dei morfismi di \( {\mathit C}\times\mathit 2 \). Devo per forza far vedere la covarianza nei casi
\[
\begin{align*}
(c,0)&\to(c^\prime,0)\to(c^{\prime\prime},0)\\
(c,0)&\to(c^\prime,0)\to(c^{\prime\prime},1)\\
(c,0)&\to(c^\prime,1)\to(c^{\prime\prime},1)\\
(c,1)&\to(c^\prime,1)\to(c^{\prime\prime},1)
\end{align*}
\] (più quelli che dimentico), o si può dare una definizione più sintetica di \( H \) che risparmi questo lavoro? (Ad esempio, io ho pensato di costruire \( H \) come un prodotto di due funtori \( \mathit C\to\mathit D\) e \( \mathit 2\to\mathit D \), ma non ho idea di come potrei costruire il secondo).
[tex]\xymatrix{{\mathit C}\ar[dr]_F\ar[r]^{i_0} & {\mathit C\times\mathit 2}\ar[d] & \ar[l]_{i_1}{\mathit C}\ar[dl]^G\\
& {\mathit D}}[/tex]
& {\mathit D}}[/tex]
dove \( i_0 \) e \( i_1 \) sono i funtori di inclusione ovvi.
Data una trasformazione naturale \( \alpha\colon F\Rightarrow G \), definisco \( H\colon{\mathit C\times\mathit 2}\to\mathit D \) per casi, come
\[
(c,i)\mapsto\begin{cases}Fc & \text{se $ i = 0 $}\\Gc & \text{se $ i = 1 $}\end{cases}\qquad f\mapsto\begin{cases}Ff & \text{se $ i = i^\prime = 0 $}\\Gf & \text{se $ i = i^\prime = 1 $}\\Gf\circ\alpha_c & \text{se $ i = 0$ e $ i^\prime = 1 $}\end{cases}
\] per ogni morfismo \( f\colon(c,i)\to(c^\prime,i^\prime) \), dove \( \alpha_c \) è una componente della trasformazione naturale \( F\rightarrow G \) che si visualizza meglio nel diagramma
[tex]\xymatrix{Fc\ar[d]_{Ff}\ar[r]^{\alpha_c} & Gc\ar[d]^{Gf}\\ Fc^\prime\ar[r]_{\alpha_{c^\prime}} & Gc^\prime}[/tex]
Che se \( H \) è un funtore quella condizione è soddisfatta è assolutamente vero. Verificare che \( H \) lo è, un funtore, però mi sembra più complicato, per la natura dei morfismi di \( {\mathit C}\times\mathit 2 \). Devo per forza far vedere la covarianza nei casi
\[
\begin{align*}
(c,0)&\to(c^\prime,0)\to(c^{\prime\prime},0)\\
(c,0)&\to(c^\prime,0)\to(c^{\prime\prime},1)\\
(c,0)&\to(c^\prime,1)\to(c^{\prime\prime},1)\\
(c,1)&\to(c^\prime,1)\to(c^{\prime\prime},1)
\end{align*}
\] (più quelli che dimentico), o si può dare una definizione più sintetica di \( H \) che risparmi questo lavoro? (Ad esempio, io ho pensato di costruire \( H \) come un prodotto di due funtori \( \mathit C\to\mathit D\) e \( \mathit 2\to\mathit D \), ma non ho idea di come potrei costruire il secondo).
Risposte
La seconda cosa non si può, fare perché dipenderebbe da una proprietà di $D$; ci sono tuttavia diversi modi di dimostrare quello che chiedi. Uno alternativo è osservare che
\[
{\sf Cat}(C \times 2,D)\cong {\sf Cat}(2, [C,D])
\] e da qui, dato che per ogni \(\mathcal K\) c'è un isomorfismo tra la categoria dei funtori \(\) e la categoria dei morfismi di \(\mathcal K\) (oggetti: le frecce di K, morfismi: i quadrati commutativi), che le trasformazioni naturali sono esattamente i morfismi \(2 \to [C,D]\)
\[
{\sf Cat}(C \times 2,D)\cong {\sf Cat}(2, [C,D])
\] e da qui, dato che per ogni \(\mathcal K\) c'è un isomorfismo tra la categoria dei funtori \(\) e la categoria dei morfismi di \(\mathcal K\) (oggetti: le frecce di K, morfismi: i quadrati commutativi), che le trasformazioni naturali sono esattamente i morfismi \(2 \to [C,D]\)
Con \( [\mathit C,\mathit D] \) che cosa intendi?
la categoria dei funtori da $C$ a $D$: le trasformazioni naturali sono morfismi di funtori paralleli, no?
\( \newcommand{cat}[1]{\mathit{#1}} \)Intanto concludo la dimostrazione. Sia \( H\colon\cat C\times\cat 2\to\cat D \). Nel dominio di \( H \) c'è, per ogni oggetto \( c\in\cat C \), un morfismo \( \alpha_c\colon (c,0)\to(c,1) \), dato dalla coppia \( (1_c, 0\to 1) \). Possiamo scrivere \( \alpha_c \) come morfismo \( i_0(c)\to i_1(c) \), al punto che sarà \( H\alpha_c\colon Fc\to Gc \). Se \( f\colon c\to c^\prime \), rimane da mostrare che
commuta. Possiamo scrivere le frecce laterali come immagini della composta di \( H \) con \( i_0 \) e con \( i_1 \), quindi i conti sono
\[
\begin{aligned}
Gf\circ H\alpha &= (H\circ i_1)f\circ H\alpha_c\\
&= H(i_1f)\circ H\alpha_c\\
&= H(i_1f\circ\alpha_c)\\
&= H((f,1_1)\circ\alpha_c)\\
\end{aligned}\qquad \begin{aligned}
H\alpha_{c^\prime}\circ Ff &= H\alpha_{c^{\prime}}\circ(H\circ i_0)f\\
&= H\alpha_{c^\prime}\circ H(i_0f)\\
&= H(\alpha_{c^\prime}\circ i_0f)\\
&= H(\alpha_{c^\prime}\circ(f,1_0))
\end{aligned}
\] dove rimane da provare che \( \alpha_{c^\prime}\circ(f,1_0) = (f,1_1)\circ\alpha_c \), ma è una cosa ovvia.
Dovrei anche dimostrare che \( \alpha\mapsto H \) con quell'\( H \) costruito a pezzi prima ha per inversa la funzione che mappa [...]; non è nulla di concettualmente rilevante, mi sembra. \( \square \)
[tex]\xymatrix{Fc\ar[d]_{Ff}\ar[r]^{H\alpha_c} & Gc\ar[d]^{Gf}\\ Fc^\prime\ar[r]_{H\alpha_{c^\prime}} & Gc^\prime}[/tex]
commuta. Possiamo scrivere le frecce laterali come immagini della composta di \( H \) con \( i_0 \) e con \( i_1 \), quindi i conti sono
\[
\begin{aligned}
Gf\circ H\alpha &= (H\circ i_1)f\circ H\alpha_c\\
&= H(i_1f)\circ H\alpha_c\\
&= H(i_1f\circ\alpha_c)\\
&= H((f,1_1)\circ\alpha_c)\\
\end{aligned}\qquad \begin{aligned}
H\alpha_{c^\prime}\circ Ff &= H\alpha_{c^{\prime}}\circ(H\circ i_0)f\\
&= H\alpha_{c^\prime}\circ H(i_0f)\\
&= H(\alpha_{c^\prime}\circ i_0f)\\
&= H(\alpha_{c^\prime}\circ(f,1_0))
\end{aligned}
\] dove rimane da provare che \( \alpha_{c^\prime}\circ(f,1_0) = (f,1_1)\circ\alpha_c \), ma è una cosa ovvia.
Dovrei anche dimostrare che \( \alpha\mapsto H \) con quell'\( H \) costruito a pezzi prima ha per inversa la funzione che mappa [...]; non è nulla di concettualmente rilevante, mi sembra. \( \square \)
"solaàl":non è esattamente la consegna dell'esercizio? Dico, un funtore \( \cat 2\to E \) "prende una freccia di \( E \)": questo equivale a dimostrare che i funtori \( \cat C\times \cat 2\to D \) sono in corrispondenza con le naturali \(F\to G \). Sbaglio?
Osservare che \[ {\sf Cat}(C \times 2,D)\cong {\sf Cat}(2, [C,D]) \]
\( \newcommand{\cat}[1]{\mathit{#1}} \) \(\newcommand{\Hom}[1]{\operatorname{Hom}{#1}} \)Siano \( \cat C \), \( \cat D \) e \( \cat E \) categorie, con \( \cat D \) localmente piccola. Allora
\[
\Hom(\cat C\times\cat D,\cat E)\cong\Hom(\cat C,{\cat E}^{\cat D})
\]
Dimostrazione. Sia \( F \) un bifuntore \( \cat C\times\cat D\to\cat E \). Se \( c\in\cat C \), una verifica banale mostra che
\[
\begin{aligned}
d&\mapsto F(c,d)\\
g&\mapsto F(1_c,g)
\end{aligned}
\] dà un funtore \( F(c,{-})\colon\cat D\to\cat E \); e se \( f \) è un morfismo \( c\to c^\prime \) di \( \cat C \), le \( F(f,1_d) \) sono le componenti, al variare di \( d\in\cat D \), di una trasformazione naturale \( F(f,1_{-})\colon F(c,{-})\Rightarrow F(c^\prime,{-}) \). A patto di aver voglia di fare qualche conto, si vede subito che per ogni \( g\colon d\to d^\prime \) il diagramma
commuta. Pertanto una mappa \( \cat C\to{\cat E}^{\cat D} \) come
\[
\begin{aligned}
c&\mapsto F(c,{-})\\
f&\mapsto F(f,1_{{-}})
\end{aligned}
\] risulta ben definita. La verifica della funtorialità si fa "per diagram chasing": se \( f_1\colon c\to c^\prime \) e \( f_2\colon c^\prime\to c^{\prime\prime} \), i due quadrati di
commutano, e dunque commuta anche il perimetro.
Domani se il forum non esplode posto la costruzione dell'inversa di
\[
\begin{aligned}
c&\mapsto {-}(c,{-})\\
f&\mapsto {-}(f,1_{{-}})
\end{aligned}
\] e concludo.
\[
\Hom(\cat C\times\cat D,\cat E)\cong\Hom(\cat C,{\cat E}^{\cat D})
\]
Dimostrazione. Sia \( F \) un bifuntore \( \cat C\times\cat D\to\cat E \). Se \( c\in\cat C \), una verifica banale mostra che
\[
\begin{aligned}
d&\mapsto F(c,d)\\
g&\mapsto F(1_c,g)
\end{aligned}
\] dà un funtore \( F(c,{-})\colon\cat D\to\cat E \); e se \( f \) è un morfismo \( c\to c^\prime \) di \( \cat C \), le \( F(f,1_d) \) sono le componenti, al variare di \( d\in\cat D \), di una trasformazione naturale \( F(f,1_{-})\colon F(c,{-})\Rightarrow F(c^\prime,{-}) \). A patto di aver voglia di fare qualche conto, si vede subito che per ogni \( g\colon d\to d^\prime \) il diagramma
[tex]\xymatrix{F(c,d)\ar[d]_{F(1_c,g)}\ar[r]^{F(f,1_d)} & F(c^\prime,d^\prime)\ar[d]^{F(1_{c^\prime},g)}\\
F(c,d^\prime)\ar[r]_{F(f,1_{d^\prime})} & F(c^\prime,d^\prime)}[/tex]
F(c,d^\prime)\ar[r]_{F(f,1_{d^\prime})} & F(c^\prime,d^\prime)}[/tex]
commuta. Pertanto una mappa \( \cat C\to{\cat E}^{\cat D} \) come
\[
\begin{aligned}
c&\mapsto F(c,{-})\\
f&\mapsto F(f,1_{{-}})
\end{aligned}
\] risulta ben definita. La verifica della funtorialità si fa "per diagram chasing": se \( f_1\colon c\to c^\prime \) e \( f_2\colon c^\prime\to c^{\prime\prime} \), i due quadrati di
[tex]\xymatrix{F(c,d)\ar[d]_{F(1_c,g)}\ar[r]^{F(f_1,1_d)} & F(c^\prime,d^\prime)\ar[d]^{F(1_{c^\prime},g)}\ar[r]_{F(f_2,1_{d})} & F(c^{\prime\prime},d)\ar[d]^{F(1_{c^{\prime\prime}},g)}\\
F(c,d^\prime)\ar[r]^{F(f,1_{d^\prime})} & F(c^\prime,d^\prime)\ar[r]_{F(f_2,1_{d^\prime})} & F(c^{\prime\prime},d^\prime)}[/tex]
F(c,d^\prime)\ar[r]^{F(f,1_{d^\prime})} & F(c^\prime,d^\prime)\ar[r]_{F(f_2,1_{d^\prime})} & F(c^{\prime\prime},d^\prime)}[/tex]
commutano, e dunque commuta anche il perimetro.
Domani se il forum non esplode posto la costruzione dell'inversa di
\[
\begin{aligned}
c&\mapsto {-}(c,{-})\\
f&\mapsto {-}(f,1_{{-}})
\end{aligned}
\] e concludo.
E invece il forum è collassato più volte...
"marco2132k":Ti puoi risparmiare questa parte, penso: la biezione che stai cercando atterra in \(\hom(C, E^D)\), popolata da funtori.
[...] Pertanto una mappa \(C\to E^D\) [...] risulta dunque ben definita. La verifica della funtorialità si fa "per diagram chasing" [...]
"kaspar":Anch'io questa settimana.
E invece il forum è collassato più volte...
"kaspar":Fissato il bifuntore \( F \), l'idea è questa:
la biezione che stai cercando atterra in hom(C,ED), popolata da funtori.
[*:2qr6oy2t] costruisco un oggetto di \( E^D \) (è \( F(c,{-}) \));
[/*:m:2qr6oy2t][*:2qr6oy2t] costruisco un morfismo di \( E^D \) (ossia \( F(f,1_{{-}}) \));
[/*:m:2qr6oy2t][*:2qr6oy2t] allora posso costruire un funtore \( C\to E^D \) che manda un oggetto e un morfismo di \( c \) rispettivamente sull'oggetto e sul morfismo che ho costruito sopra. Affinché questo sia un funtore, le immagini della sua mappa degli oggetti devono essere oggetti (di \( E^D \), ossia funtori - e occorre verificare la funtorialità di questi ragazzi); e le immagini della sua mappa dei morfismi [...][/*:m:2qr6oy2t][/list:u:2qr6oy2t]
Intendevo questo con "ben definita". Forse non si capiva - sennò rileggo meglio.
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