Questioni sull'anello degli interi di Gauss
Buongiorno, in questo messaggio vorrei sottoporre alcune questioni che non mi sono chiare relativamente ad operazioni sull'anello degli interi di Gauss $ZZ$.
Precisamente, supponiamo di cercare il MCD tra i segg. elementi dell'anello:
$z_1 = 4 + 4i$ e $z_2 = -5 + 7i$.
Soluzione canonica (algoritmo euclideo)
In pratica, si utilizza l'algoritmo euclideo al caso in esame.
Risulta $||z_1||^2 = 32$ e $||z_2||^2 = 74$; dividiamo $z_2$ per $z_1$.
Dunque: $z_2 = z_2* z_1 /z_1$ = $z_2* z_1* \bar z_1/||z_1||^2$, dove $\bar z_1$ indica il coniugato di $z_1$.
Facendo i calcoli, molto semplici e che vi risparmio, segue:
$z_2 = z_1*i + (-1 +3i) = z_1*i + r_1$, dove $r_1$ rappresenta il resto della divisione. Risulta: $r_1 = -1 + 3i$ Si verifica che $||r_1||^2 = 10$ < $||z_1||^2 = 32$, e quindi $r_1$ soddisfa i requisiti del resto.
Proseguendo nella divisione euclidea si arriva a scrivere:
$z_1 = r_1*z_1/r_1$ = $r_1*z_1*\bar r_1/||r_1||^2$ $ = (40 + 40i)/10 = 4 + 4i = z_1$ da cui segue che $r_2 = 0$ e quindi $r_1 = -1 + 3i$ = MCD.
Se le cose stanno così, $r_1$ deve dividere sia $z_1$ sia $z_2$, quindi si deve poter scrivere:
dove $\alpha$ e $\beta$ appartengono a $ZZ$, ossia sono del tipo $a + bi$ con $a, b in ZZ$.
Facendo i calcoli, tuttavia, si ricava (per $\alpha$) $a = 4/5, b = -8/5$, mentre per $\beta$ si ha $a = 13/5, b = 4/5$ il che è assurdo (non appartengono a $ZZ)$.
Dunque risulterebbe che $r_1$, MCD di $z_1$ e $z_2$, non divide né $z_1$ né $z_2$. Non riesco a capire dove stia l'errore.
B) Domanda
Vorrei capire perché il procedimento precedente, che mi sembra quello canonico, dia luogo ad una contraddizione.
PS. Chiedo scusa per la lunghezza del messaggio, ma mi è sembrato necessario fornire almeno una traccia dei calcoli (che incidentalmente ho rivisto più volte per escludere eventuali errori di calcolo).
Grazie per l'attenzione.
Precisamente, supponiamo di cercare il MCD tra i segg. elementi dell'anello:
$z_1 = 4 + 4i$ e $z_2 = -5 + 7i$.
Soluzione canonica (algoritmo euclideo)
In pratica, si utilizza l'algoritmo euclideo al caso in esame.
Risulta $||z_1||^2 = 32$ e $||z_2||^2 = 74$; dividiamo $z_2$ per $z_1$.
Dunque: $z_2 = z_2* z_1 /z_1$ = $z_2* z_1* \bar z_1/||z_1||^2$, dove $\bar z_1$ indica il coniugato di $z_1$.
Facendo i calcoli, molto semplici e che vi risparmio, segue:
$z_2 = z_1*i + (-1 +3i) = z_1*i + r_1$, dove $r_1$ rappresenta il resto della divisione. Risulta: $r_1 = -1 + 3i$ Si verifica che $||r_1||^2 = 10$ < $||z_1||^2 = 32$, e quindi $r_1$ soddisfa i requisiti del resto.
Proseguendo nella divisione euclidea si arriva a scrivere:
$z_1 = r_1*z_1/r_1$ = $r_1*z_1*\bar r_1/||r_1||^2$ $ = (40 + 40i)/10 = 4 + 4i = z_1$ da cui segue che $r_2 = 0$ e quindi $r_1 = -1 + 3i$ = MCD.
Se le cose stanno così, $r_1$ deve dividere sia $z_1$ sia $z_2$, quindi si deve poter scrivere:
$z_1 = r_1*\alpha$ e $z_2 = r_1*\beta$,
dove $\alpha$ e $\beta$ appartengono a $ZZ$, ossia sono del tipo $a + bi$ con $a, b in ZZ$.
Facendo i calcoli, tuttavia, si ricava (per $\alpha$) $a = 4/5, b = -8/5$, mentre per $\beta$ si ha $a = 13/5, b = 4/5$ il che è assurdo (non appartengono a $ZZ)$.
Dunque risulterebbe che $r_1$, MCD di $z_1$ e $z_2$, non divide né $z_1$ né $z_2$. Non riesco a capire dove stia l'errore.
B) Domanda
Vorrei capire perché il procedimento precedente, che mi sembra quello canonico, dia luogo ad una contraddizione.
PS. Chiedo scusa per la lunghezza del messaggio, ma mi è sembrato necessario fornire almeno una traccia dei calcoli (che incidentalmente ho rivisto più volte per escludere eventuali errori di calcolo).
Grazie per l'attenzione.
Risposte
"GBX1":
$z_1 = r_1*z_1/r_1$ = $r_1*z_1*\bar r_1/||r_1||^2$ $ = (40 + 40i)/10 = 4 + 4i = z_1$ da cui segue che $r_2 = 0$
Chiaramente questa implicazione non può essere vera perchè $r_1$ non divide $z_1$.
Non capisco il medoto che usi per fare la divisione, ma lì sta l'errore, infatti $z_1=r_1(1-i)+(r_2=)2$.
Il metodo usato per fare la divisione è quello spiegato sul Piacentini Cattaneo, paragrafo 4.7, pagine 181 - 182. Tale metodo, con leggere varianti inessenziali, fu spiegato nel corso di Algebra 2 dell'Università di Torino, che avevo frequentato alcuni anni fa, in epoca pre-Covid19.
Una possibile soluzione dell'aporia potrebbe essere questa. I numeri $z_1$ e $z_2$ non me li sono inventati io, li ho trovati in un esercizio sul testo citato, il 4.7 pag.186, che testualmente recita: <$ determinare, nel caso in cui esista, il MCD tra i due seguenti interi di Gauss: 4 + 4i e -5 +7i>>.
Dunque il testo del problema contempla l'ipotesi che il MCD tra i due interi di Gauss non esista (a parte naturalmente, aggiungo io, l'unità). Può darsi dunque che la soluzione del problema (che stranamente non è riportata alla fine del volume citato) stia nel riconoscere che $r_1$, pur essendo l'unico resto non nullo della divisione, non può essere considerato il MCD($z_1$, $z_2$), proprio per l'incongruenza messa in luce nel mio intervento iniziale.
Una possibile soluzione dell'aporia potrebbe essere questa. I numeri $z_1$ e $z_2$ non me li sono inventati io, li ho trovati in un esercizio sul testo citato, il 4.7 pag.186, che testualmente recita: <
Dunque il testo del problema contempla l'ipotesi che il MCD tra i due interi di Gauss non esista (a parte naturalmente, aggiungo io, l'unità). Può darsi dunque che la soluzione del problema (che stranamente non è riportata alla fine del volume citato) stia nel riconoscere che $r_1$, pur essendo l'unico resto non nullo della divisione, non può essere considerato il MCD($z_1$, $z_2$), proprio per l'incongruenza messa in luce nel mio intervento iniziale.
Il gcd tra due interi di Gauss esiste sempre perché \(\mathbb Z\) è un PID.
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