Questioni di cardinalità
Dinostrare che $N$ e $N x N$ sono in bigezione e creare l'applicazione che li mette in bigezione.
(in realtà il problema era più complesso, ma con vari ragionamenti l'ho ricondotto a questo)
Propongo la mia soluzione e spero che qualcuno corregga enetuali (probabili) errori, e sono ben accette tutte la altre dimostrazioni della suddetta proposizione.
Dim:
$f:N->NxN$
Analizziamo $N$, un suo generico elemento è $n$.
E dunque fattoriaziamolo in fattori primi.
$n=p^alpha * q^beta*...$
Di tutti presti primi noi prendiamo il più piccolo, ovvero $p$.
E dunque la nostra applicazione manderà
$n->(p^alpha,n/(p^alpha))$
Si trova che ogni $n$ determina un'unica coppia appartenente a $N*N$.
Mentre ogni $n$ può esser generato da una coppia $NxN$
Ad ogni coppia di $NxN$ è associato un $n$...
Semprerebbe esserci la biunivocità...
Semprerebbe che fili tutto...ma come faccio ad esserne sicuro?
(in realtà il problema era più complesso, ma con vari ragionamenti l'ho ricondotto a questo)
Propongo la mia soluzione e spero che qualcuno corregga enetuali (probabili) errori, e sono ben accette tutte la altre dimostrazioni della suddetta proposizione.
Dim:
$f:N->NxN$
Analizziamo $N$, un suo generico elemento è $n$.
E dunque fattoriaziamolo in fattori primi.
$n=p^alpha * q^beta*...$
Di tutti presti primi noi prendiamo il più piccolo, ovvero $p$.
E dunque la nostra applicazione manderà
$n->(p^alpha,n/(p^alpha))$
Si trova che ogni $n$ determina un'unica coppia appartenente a $N*N$.
Mentre ogni $n$ può esser generato da una coppia $NxN$
Ad ogni coppia di $NxN$ è associato un $n$...
Semprerebbe esserci la biunivocità...
Semprerebbe che fili tutto...ma come faccio ad esserne sicuro?
Risposte
Sei sicuro sia suriettiva? I vari $(0, x)$ e $(1, x)$ non sembrano essere presi...
effettivamente quello manca...
Bè non è definita quella roba..
Non sò a questo punto e a quest'ora non ho altre idee...
Se ne hai qualcuna posta pure...
Bè non è definita quella roba..
Non sò a questo punto e a quest'ora non ho altre idee...
Se ne hai qualcuna posta pure...
Non capisco. Cantor non ti basta?
"Fioravante Patrone":
Non capisco. Cantor non ti basta?
Bè effettivamente utilizzando Cantor non hai bisogno di dir nulla...
Basta dire che entrambi sono numerabili...
Ma alla domanda: qual'è l'applicazione bigettiva non saprei proprio rispondere adesso...
Sento la necessità di esplicitarla...
ripetendo certo la forma esplicita (e non grafica) di una applicazione bigettiva
$F:N->N x N$
Tutti sanno che esiste, ma io non riesco a trovarla
$F:N->N x N$
Tutti sanno che esiste, ma io non riesco a trovarla
Allora. Cantor un giorno si è svegliato e ha detto: $NN \times NN$ è numerabile. E tutti gli hanno creduto. 
Sorry, il medioevo e il principio di autorità sono finiti da un pezzo.
Io mi riferivo al cosiddetto "primo procedimento diagonale" (di Cantor).
Sorry, il medioevo e il principio di autorità sono finiti da un pezzo.
Io mi riferivo al cosiddetto "primo procedimento diagonale" (di Cantor).
Bè...
Per quanto riguarda Cantor da perfetto ignorante conosco solo la proposizione "ogni insieme numerabile e infinito ha la stessa cardinalità di N" e conosco la dimostrazione sulla non numerabilità di R.
In quel contesto ho visto per la prima volta la diagonale di Cantor.
Quindi non conosco il "primo procedimento diagonale"...
Per quanto riguarda Cantor da perfetto ignorante conosco solo la proposizione "ogni insieme numerabile e infinito ha la stessa cardinalità di N" e conosco la dimostrazione sulla non numerabilità di R.
In quel contesto ho visto per la prima volta la diagonale di Cantor.
Quindi non conosco il "primo procedimento diagonale"...
"angus89":
Bè...
Per quanto riguarda Cantor da perfetto ignorante conosco solo la proposizione "ogni insieme numerabile e infinito ha la stessa cardinalità di N" e conosco la dimostrazione sulla non numerabilità di R.
In quel contesto ho visto per la prima volta la diagonale di Cantor.
Quindi non conosco il "primo procedimento diagonale"...
Mi cadono le braccia. Come parlare al vento.
A me personalmente non interessa se sei ignorante o meno. Tutti sappiamo solo una misera porzione di mate. In compenso mi preoccupa e molto che tu ribadisca l'idea che a Cantor gli abbiano creduto sulla parola. Di solito in mate una "proposizione" è tale se corredata da dimostrazione. E la consapevolezza di questo dovrebbe essere il "riflesso condizionato".
ma certo...
la penso proprio come te...
Quello che Cantor ha dimostrato è che ci sono insiemi infiniti che son più piccoli di altri insiemi infiniti.
Inoltre se un insieme è numerabile di conseguenza è in bigezione con N, basta pensare che posso mettere un indice ad ogni elemento.
In questo caso se pensiamo $NxN$, possiamo pensare ad una matrice...
Oppure elencarli e di consequenza inventarci un qualsiasi modo per numerarli
$(0,0) - (0,1) - (0,2) - (0,3) - (0,4) - (0,5) ...$
$(1,0) - (1,1) - (1,2) - (1,3) - (1,4) - (1,5) ...$
$(2,0) - (2,1) - (2,2) - (2,3) - (2,4) - (2,5) ...$
$(3,0) - (3,1) - (3,2) - (3,3) - (3,4) - (3,5) ...$
$...$
Ad esempio andare avanti per diagonali...
Per quanto riguarda Fioravante sottolineo che la penso esattamente come te...
Non è che tutti hanno creduto a Cantor...
Io sto semplicente dicendo che se un insieme è numerabile, banalmente è in bigezione con N e dal punto di vista grafico si trova facilmente un modo per numerare $NxN$...
Io cerco solo un modo analitico...
Tutto qui...
la penso proprio come te...
Quello che Cantor ha dimostrato è che ci sono insiemi infiniti che son più piccoli di altri insiemi infiniti.
Inoltre se un insieme è numerabile di conseguenza è in bigezione con N, basta pensare che posso mettere un indice ad ogni elemento.
In questo caso se pensiamo $NxN$, possiamo pensare ad una matrice...
Oppure elencarli e di consequenza inventarci un qualsiasi modo per numerarli
$(0,0) - (0,1) - (0,2) - (0,3) - (0,4) - (0,5) ...$
$(1,0) - (1,1) - (1,2) - (1,3) - (1,4) - (1,5) ...$
$(2,0) - (2,1) - (2,2) - (2,3) - (2,4) - (2,5) ...$
$(3,0) - (3,1) - (3,2) - (3,3) - (3,4) - (3,5) ...$
$...$
Ad esempio andare avanti per diagonali...
Per quanto riguarda Fioravante sottolineo che la penso esattamente come te...
Non è che tutti hanno creduto a Cantor...
Io sto semplicente dicendo che se un insieme è numerabile, banalmente è in bigezione con N e dal punto di vista grafico si trova facilmente un modo per numerare $NxN$...
Io cerco solo un modo analitico...
Tutto qui...
"Tipper":
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_coppia#Funzione_coppia_di_Cantor
"Wiki":
In matematica si definisce funzione coppia una funzione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri naturali un numero naturale con corrispondenza uno a uno; è quindi un'applicazione biiettiva π fra l'insieme prodotto $ \mathbb{N} \times \mathbb{N} $ e l'insieme dei numeri naturali $ \mathbb{N}$:
La funzione coppia di Cantor è una funzione coppia così definita:
E l'inversa di questa applicazione quale sarebbe?
a questo punto ho bisogno di sapere...
Chiunque abbia qualche dispensa sulla funzione coppia di Cantor o voglia sistemare questa roba...
Lasci pure un post qui
Chiunque abbia qualche dispensa sulla funzione coppia di Cantor o voglia sistemare questa roba...
Lasci pure un post qui
Per togliersi la sete di sapere a volte basta aprire il rubinetto.
Basta cliccare sul link alla wiki inglese, che è nella pagina indicata da Tipper.
O sul link alla pagina di mathworld, che guarda caso si trova anche quello nella pagina indicata da Tipper.
Per non parlare poi dello zio Google, cui io mi abbevero più volte al giorno. Questo benefattore dell'umanità restituisce, ad esempio:
http://www.di.unito.it/~stefano/Mathema ... index.html
Basta cliccare sul link alla wiki inglese, che è nella pagina indicata da Tipper.
O sul link alla pagina di mathworld, che guarda caso si trova anche quello nella pagina indicata da Tipper.
Per non parlare poi dello zio Google, cui io mi abbevero più volte al giorno. Questo benefattore dell'umanità restituisce, ad esempio:
http://www.di.unito.it/~stefano/Mathema ... index.html
Bè che dire...nonostante l'estrema gentilezza di Fioravante, mi sento in dovere di ringraziarlo...
Sottolineo il fatto che ho provato a chiedere aiuto a zio Google ma quello che mi ha trovato non è quello che cercavo...
Comunque il link che hai postato mi è stato molto utile (non a livello scolastico sia chiaro...queste cose almeno per ora non le facciamo, eppure le diamo per ovvie e finchè non le vedo scritte e dimostrate a me non convincono...a tutti pare ovvio che Q è numerabile, ma come si dimostra?...ecco ora sò farlo...)
Bè grazie ancora....
E scusate per l'eccessivo disturbo...
Sottolineo il fatto che ho provato a chiedere aiuto a zio Google ma quello che mi ha trovato non è quello che cercavo...
Comunque il link che hai postato mi è stato molto utile (non a livello scolastico sia chiaro...queste cose almeno per ora non le facciamo, eppure le diamo per ovvie e finchè non le vedo scritte e dimostrate a me non convincono...a tutti pare ovvio che Q è numerabile, ma come si dimostra?...ecco ora sò farlo...)
Bè grazie ancora....
E scusate per l'eccessivo disturbo...
Sulla mia parete è appesa una xilografia giapponese
La maschera di un demone cattivo, dipinta con la lacca d'oro.
Pieno di compassione vedo
Le gonfiate vene frontali, segno di
Quanto è faticoso essere cattivo.
Bertolt Brecht
Eppure, nonostante sia faticoso, sono convinto che uno debba essere cattivo quando lo ritiene necessario.
Accolgo il tuo grazie come un apprezzamento per questo mio sforzo.
La maschera di un demone cattivo, dipinta con la lacca d'oro.
Pieno di compassione vedo
Le gonfiate vene frontali, segno di
Quanto è faticoso essere cattivo.
Bertolt Brecht
Eppure, nonostante sia faticoso, sono convinto che uno debba essere cattivo quando lo ritiene necessario.
Accolgo il tuo grazie come un apprezzamento per questo mio sforzo.
"Fioravante Patrone":
... sono convinto che uno debba essere cattivo quando lo ritiene necessario.
Già, perché i pazienti di un medico troppo buono muoiono più facilmente (cit.). Giusto, no?
"Tipper":
[quote="Fioravante Patrone"]... sono convinto che uno debba essere cattivo quando lo ritiene necessario.
Già, perché i pazienti di un medico troppo buono muoiono più facilmente (cit.). Giusto, no?
[/quote]Chi l'ha detta questa?
OK.
Anche Tipper mi ha mandato il link.
Anche Tipper mi ha mandato il link.
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