Questione sulla classe di nilpotenza

[glooo1]

Avrei bisogno di aiuto nel provare il seguente fatto.

Sia $P$ un p_gruppo, con $|P|=p^n$ , $p$ numero primo.

Suppongo che $P$$/Z(P)$ sia un gruppo nilpotente con classe di nilpotente $k$ e vorrei provare che la classe di nilpotenza di $P$ è $k+1$.

Il mio tentativo:

Chiamo $Z=Z(P)$.

Per ipotesi so che $P/Z=Z_k(P/Z)$, dove $Z_k(P/Z)$ è l'ultimo termine della serie centrale ascendente.

Ho provato poi a mostrare per induzione che $Z_k(P/Z)=(Z_{k+1}(P))/Z$, ma ho problemi a mostrare il passo induttivo.



Considero la serie centrale ascendente di $\bar{P}=P/Z$:

$$Z_0(P)=1=Z(P)/Z(P) \triangleleft Z_1(\bar{P})=Z_2(P)/Z(P) \triangleleft...\triangleleft Z_k(\bar{P})=P/Z(P),$$

che posso scrivere così per ipotesi induttiva.

Allora considero questa serie di $P$:
$$1 \triangleleft Z_1(P) \triangleleft Z_2(P) \triangleleft...\triangleleft Z_k(P)\triangleleft P.$$


Quello che non capisco è come da qui si possa dedurre che $P=Z_{k+1}(P)$, che porterebbe alla conclusione.

Grazie per l'aiuto!

[Studente Anonimo]

Scusa non capisco, in ogni caso mi sembra abbastanza chiaro che il secondo centro di P corrisponde al primo centro di P/Z, il terzo centro di P corrisponde al secondo centro di P/Z e così via, in altre parole $Z_i(P//Z) = Z_{i+1}(P)//Z$, da cui segue facilmente che $Z_{k+1}(P)=P$.