Questione sul gruppo $PSL(3,2)$
Salve a tutti!
Ho dei problemi con il gruppo $PSl(3,2)$, cioè il gruppo speciale lineare di ordine $3$ su un campo di $2$ elementi.
Ho trovato scritto che questo gruppo è generato dagli elementi $(1,2)(5,6)$, $(2,4)(3,5)$, $(2,6)(3,7)$.
Perchè i generatori di questo gruppo, invece di essere matrici, sono permutazioni?
Come si potrebbe fare a dimostrare che $PSL(3,2)$ è generato da questi $3$ elementi?
Grazie mille!!!
Ho dei problemi con il gruppo $PSl(3,2)$, cioè il gruppo speciale lineare di ordine $3$ su un campo di $2$ elementi.
Ho trovato scritto che questo gruppo è generato dagli elementi $(1,2)(5,6)$, $(2,4)(3,5)$, $(2,6)(3,7)$.
Perchè i generatori di questo gruppo, invece di essere matrici, sono permutazioni?
Come si potrebbe fare a dimostrare che $PSL(3,2)$ è generato da questi $3$ elementi?
Grazie mille!!!
Risposte
Chiaramo la notazione: \(\displaystyle PSL(3,2)\) è il gruppo delle proiettività di \(\displaystyle \mathbb{P}^3(\mathbb{Z}_2)\equiv GP(3,2)\), \(\displaystyle SL(3,2)\) è il gruppo degli automorfismi lineari di \(\displaystyle(\mathbb{Z}_2)^3 \)!
A chi ti riferisci?
A chi ti riferisci?
Mi riferisco a $PSL(3,2)$. $PSL(3,2)$ e $SL(3,2)$ sono isomorfi, visto che sono entrambi isomorfi a $PSL(2,7)$, giusto?
Veramente \(\displaystyle PSL(3,2)\) è isomorfo a \(\displaystyle GL(4,2)\)!
Che $PSL(3,2)$ e $SL(3,2)$ sono isomorfi l' ho trovato nell' articolo http://projecteuclid.org/download/pdf_1 ... 1118780766 pag 15, prima del Lemma 1
Quel file PDF arriva a pagina 12; e non escludo che esista un tale isomorfismo... però io non lo vedo (e senza offesa non ho il tempo di cercarlo!)
Scusami pag 3...
Il gruppo $PSL_3(F_2)$ agisce in modo naturale sul piano proiettivo su $F_2$.
Poiche' il piano proiettivo su $F_2$ ha esattamente sette punti,
quest'azione induce un omomorfismo iniettivo da $PSL_3(F_2)$ al
gruppo simmetrico $S_7$.
Forse il testo che hai trovato si riferisce a questo?
Poiche' il piano proiettivo su $F_2$ ha esattamente sette punti,
quest'azione induce un omomorfismo iniettivo da $PSL_3(F_2)$ al
gruppo simmetrico $S_7$.
Forse il testo che hai trovato si riferisce a questo?
Si, mi sa proprio di si...grazie mille a entrambi...
[tex]PSL(n,2) \cong SL(n,2) = GL(n,2)[/tex] perché su un campo con due elementi "determinante diverso da zero" vuol dire "determinante uguale a 1" e l'unica matrice scalare invertibile è l'identità, per cui [tex]SL(n,2)[/tex] ha centro banale.
Quindi il fatto che i generatori siano degli elementi di $S_7$ è dovuto al fatto che esiste questo omomorfismo iniettivo da $PSL(3,2)$ in $S_7$, giusto? C'è un modo semplice per fare vedere che quelli sono i generatori di $PSL(3,2)$? Grazie mille...
Ma, per esempio, l' elemento $(12) (65)$ a che matrice di $SL(3,2)$ corrisponde?
Scusate un attimo, forse c'è un problema di definizione a monte: io definisco per un fissato campo \(\displaystyle\mathbb{F}\) e per un fissato \(\displaystyle n\geq2\):
\[
\mathrm{PGL}(n-1,\mathbb{F})=\mathrm{GL}(n,\mathbb{F})_{\displaystyle/\langle\lambda I_n^n\mid\lambda\in\mathbb{F}^{\times}\rangle}
\]
e di conseguenza \(\displaystyle\mathrm{PSL}(n-1,\mathbb{F})\); quindi secondo questa mia definizione:
\[
\mathrm{PSL}(3,2)\simeq\mathrm{SL}(4,2)=\mathrm{GL}(4,2).
\]
\[
\mathrm{PGL}(n-1,\mathbb{F})=\mathrm{GL}(n,\mathbb{F})_{\displaystyle/\langle\lambda I_n^n\mid\lambda\in\mathbb{F}^{\times}\rangle}
\]
e di conseguenza \(\displaystyle\mathrm{PSL}(n-1,\mathbb{F})\); quindi secondo questa mia definizione:
\[
\mathrm{PSL}(3,2)\simeq\mathrm{SL}(4,2)=\mathrm{GL}(4,2).
\]
"glooo":Casomai un omomorfismo iniettivo!
... esiste un (NdT) isomorfismo iniettivo...
Ho corretto, scusate...
@j18eos: non e' molto standard. Di solito $PGL_n(F) = GL_n(F)$/$F^{\times}$ e $PGL_n(F)$
agisce quindi sullo spazio proiettivo $(n-1)$-dimensionale sul campo $F$.
agisce quindi sullo spazio proiettivo $(n-1)$-dimensionale sul campo $F$.
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