Questione su un teorema di isomorfismo di gruppi
Un teorema di isomorfismo di gruppi afferma quanto segue:
Se G è un gruppo, N un suo sottogruppo normale ed H un sottogruppo qualunque di G, allora:
(i) \( N\cap H \) è normale in \( H \)
(ii) \( H/(N\cap H)\simeq HN/N \)
Poiché H è un sottogruppo qualunque di G, tralasciando i sottogruppi banali, si possono dare 4 casi:
(1) \( H\cap N=\emptyset \)
(2) \( H\cap N\neq \emptyset \)
(3) \( N\subseteq H \)
(4) \( H\subseteq N \)
Proviamo ad applicare (i) e (ii) a questi 4 casi. Gli ultimi tre non creano problemi, mentre il primo mi pare più delicato. Applichiamo (i) al caso (1):
\( N\cap H=\emptyset \) è normale in H. Ma io non ho mai letto, in nessun libro di algebra, che l'insieme vuoto sia un sottogruppo di un qualsivoglia gruppo, e meno che mai che sia addirittura normale.
Adesso passiamo a (ii), sempre applicato al caso (1).
\( H/\emptyset \simeq HN/N \)
Il secondo membro di questa relazione ha sicuramente senso, ma il primo? Come si può interpretare il gruppo quoziente \( H/\emptyset \) ? Ha senso?
Allora la soluzione potrebbe essere quella di escludere il caso (1), quindi il testo del teorema dovrebbe essere cambiato: H non può essere un sottogruppo "qualunque" di G, ma deve essere tale da ammettere un'intersezione non vuota con N.
Ringrazio in anticipo tutti coloro che vorranno aiutarmi a chiarire questo che, probabilmente, è un caso estremo. Ma io sono convinto che in matematica si impari di più dai casi estremi che da tanti esercizi normali, magari ripetitivi.
Se G è un gruppo, N un suo sottogruppo normale ed H un sottogruppo qualunque di G, allora:
(i) \( N\cap H \) è normale in \( H \)
(ii) \( H/(N\cap H)\simeq HN/N \)
Poiché H è un sottogruppo qualunque di G, tralasciando i sottogruppi banali, si possono dare 4 casi:
(1) \( H\cap N=\emptyset \)
(2) \( H\cap N\neq \emptyset \)
(3) \( N\subseteq H \)
(4) \( H\subseteq N \)
Proviamo ad applicare (i) e (ii) a questi 4 casi. Gli ultimi tre non creano problemi, mentre il primo mi pare più delicato. Applichiamo (i) al caso (1):
\( N\cap H=\emptyset \) è normale in H. Ma io non ho mai letto, in nessun libro di algebra, che l'insieme vuoto sia un sottogruppo di un qualsivoglia gruppo, e meno che mai che sia addirittura normale.
Adesso passiamo a (ii), sempre applicato al caso (1).
\( H/\emptyset \simeq HN/N \)
Il secondo membro di questa relazione ha sicuramente senso, ma il primo? Come si può interpretare il gruppo quoziente \( H/\emptyset \) ? Ha senso?
Allora la soluzione potrebbe essere quella di escludere il caso (1), quindi il testo del teorema dovrebbe essere cambiato: H non può essere un sottogruppo "qualunque" di G, ma deve essere tale da ammettere un'intersezione non vuota con N.
Ringrazio in anticipo tutti coloro che vorranno aiutarmi a chiarire questo che, probabilmente, è un caso estremo. Ma io sono convinto che in matematica si impari di più dai casi estremi che da tanti esercizi normali, magari ripetitivi.
Risposte
$H\cap N$ non può mai essere vuoto perchè l'intersezione di due sottogruppi contiene almeno l'identità.
Hai ragione, ho scritto una fesseria. Adesso provo a cancellare il messaggio. Ciao!
[xdom="Martino"]@GBX1, per favore non cancellare il messaggio, non ha senso cancellare un messaggio che ha ricevuto risposta. Grazie.[/xdom]
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