Questini di irriducibilità

[squalllionheart]

Salve rega...
Il mio libro afferma con una proposizione tale questione:
"Se $p(x)$ è irriducibile su $Zp$ allora è anche irriucibile su $Q$"
Vorrei sapere due cose precisamente:
1) $Zp$ è arbitrario? cioè per qualunque p vale l'asserto, lo faccio su Zp con p=2 o P=3 o p=5 è la stessa cosa?
2) La fattorizzazione in Zp è unica? cioè se preso il polinomio di partenza, portarto a coefficenti in Zp e scoposto nel prodotto di polinomi di grado inferione la scomposiozione è unica anche in questo caso?

[gygabyte017]

"squalllionheart":Salve rega...
Il mio libro afferma con una proposizione tale questione:
"Se $p(x)$ è irriducibile su $Zp$ allora è anche irriucibile su $Q$"
Vorrei sapere due cose precisamente:
1) $Zp$ è arbitrario? cioè per qualunque p vale l'asserto, lo faccio su Zp con p=2 o P=3 o p=5 è la stessa cosa?
2) La fattorizzazione in Zp è unica? cioè se preso il polinomio di partenza, portarto a coefficenti in Zp e scoposto nel prodotto di polinomi di grado inferione la scomposiozione è unica anche in questo caso?

Per la 1), se il polinomio è $p(x) = a_nx^n + ... + a_0$ allora il primo $p$ non deve dividere $a_n$ perchè altrimenti lo abbasseresti di grado. Questa è l'unica condizione. Ad esempio se $p(x)=6x^4 + x^2 + 7x + 3$ allora puoi scegliere qualsiasi $pnotin{2,3,6}$
2) Credo sia unica solo se prendi come coefficienti $a_i$ quelli compresi tra $0$ e $p$ escluso. Altrimenti se per esempio $p(x)=x^5+2x^4-5x^3-10x^2+6x+12$ e lo porto a coefficienti in $ZZ_2$, allora $p(x)=x^5+x^3=x^3(x^2+1)=x^3(x^2-1)=x^3(x+1)(x-1)=x^3(x+1)(x+1)=x^3(x+1)^2$ è la fattorizzazione in $ZZ_2$, ma anche per esempio $99x^3(73x+41)^2$ è una fattorizzazione, quindi direi che in generale in $ZZ_p$ la fattorizzazione è unica se $0<=a_i
Ciao!

[squalllionheart]

Ok grazie un bacio