Quesito sugli ordinamenti deboli (weak orders)

[cionilorenzo]

Ciao a tutt*
in un articolo che sto leggendo ho trovato una definizione di weak order su $X$ come una relazione binaria transitiva e completa su $X$. Dato che la relazione è completa viene detto che è riflessiva. Questa cosa non mi torna molto. Se così fosse la relazione $>$ su qualunque insieme numerico non sarebbe un weak order o sbaglio?
Sempre nello stesso articolo si legge che se si aggiunge l'antisimmetria si ha un linear order e più oltre che un weak order può essere linearizzato in più modi diversi. Mi sono perso. Qualcuno può chiarirmi le idee magari dandomi qualche indicazione bibliografica di base?
Grazie.
Lorenzo

[fulcanelli]

Cosa significa "completa"? Totale?

[cionilorenzo]

"fulcanelli":Cosa significa "completa"? Totale?

Nell'articolo in questione si legge che per completezza si intende che per ogni $a$ e $b$ in $X$ o $a$ is at least good as $b$ or $b$ is at least good as $a$ per cui forse si completo significa totale.
Lorenzo

[fulcanelli]

Non faresti prima a linkare l'articolo in questione? In ogni caso, se $R$ è una relazione binaria transitiva e totale è evidentemente anche riflessiva: se delle due, tra \(a\le b\) e \(b \le a\) deve essere vera almeno una (per totalità), queste due sono una condizione sola quando \(a=b\).

Tu però scrivi \(>\), che non è nemmeno una relazione d'ordine (\(x > y\) significa \(y \ge x \land x\ne y\): è transitiva, ma non riflessiva, e per ragioni ovvie non può nemmeno essere antisimmetrica). Com'è la storia?

[cionilorenzo]

"fulcanelli":Non faresti prima a linkare l'articolo in questione? In ogni caso, se $R$ è una relazione binaria transitiva e totale è evidentemente anche riflessiva: se delle due, tra \(a\le b\) e \(b \le a\) deve essere vera almeno una (per totalità), queste due sono una condizione sola quando \(a=b\).

Tu però scrivi \(>\), che non è nemmeno una relazione d'ordine (\(x > y\) significa \(y \ge x \land x\ne y\): è transitiva, ma non riflessiva, e per ragioni ovvie non può nemmeno essere antisimmetrica). Com'è la storia?

Ho il cartaceo
Ad ogni modo la relazione $<=$ è un linear order perché è totale, transitiva e antisimmetrica e non è un weak order (che non è antisimmetrico ma solo totale e transitivo). Io non ho detto che $>$ non è un ordinamento ma ho chiesto se sia un weak order o no e se non lo è (chiedo ora) che tipo di ordinamento sia. Parziale (?, solo perché non riflessivo?) e transitivo. Come si chiama (se ha un nome)? Ad esempio a che tipologia appartiene la relazione su $N$ "divide" $(a|b)$ che è riflessiva, transitiva e antisimmetrica ma non totale?
Grazie.
Lorenzo

[fulcanelli]

Sì, averlo di carta non ti impedisce di dire qual è il titolo: ci sono molti modi di reperirlo se serve, e avere tutto il testo aiuta, solitamente, a dare contesto alla domanda.

Comunque.
Se chiami "weak order" una relazione $R$ transitiva e totale, ogni ordine totale è un weak order. La relazione di divisibilità tra interi positivi... dipende, è quel che è. Vuoi sapere se esiste un isomorfismo d'ordine con un'altra struttura? Vuoi sapere qual è questa struttura? Vuoi sapere qualche proprietà order-teoretica di \((\mathbb{N}, \,\mid\,)\)? Vuoi sapere se il poset \((\mathbb{N}, \,\mid\,)\) è un oggetto geometrico?

[j18eos]

"cionilorenzo":[...] Ho il cartaceo [...]

Ok: di grazia, autori\autrici e titolo per controllare meglio?!

[cionilorenzo]

"j18eos":[quote="cionilorenzo"][...] Ho il cartaceo [...]

Ok: di grazia, autor* e titolo per controllare meglio?! [/quote]
Measuring consensus in a preference-approval context. Erdamar B., Garcia-Lapresta J.L., Pèrez-Roman D., Remzi Sanver M.
Soddsifatti? L'articolo è solo un pretesto per dei chiarimenti che finora nessuno ha dato.
Lorenzo

[cionilorenzo]

"fulcanelli":Sì, averlo di carta non ti impedisce di dire qual è il titolo: ci sono molti modi di reperirlo se serve, e avere tutto il testo aiuta, solitamente, a dare contesto alla domanda.

Comunque.
Se chiami "weak order" una relazione $R$ transitiva e totale, ogni ordine totale è un weak order. La relazione di divisibilità tra interi positivi... dipende, è quel che è. Vuoi sapere se esiste un isomorfismo d'ordine con un'altra struttura? Vuoi sapere qual è questa struttura? Vuoi sapere qualche proprietà order-teoretica di \((\mathbb{N}, \,\mid\,)\)? Vuoi sapere se il poset \((\mathbb{N}, \,\mid\,)\) è un oggetto geometrico?

Solo se è totale E transitiva. Quello che voglio sapere sta in buona sostanza nel primo post a cui nessuno, sfoggi di sapienza a parte, ha risposto.
Lorenzo

[gugo82]

"cionilorenzo":[quote="j18eos"][quote="cionilorenzo"][...] Ho il cartaceo [...]

Ok: di grazia, autor* e titolo per controllare meglio?! [/quote]
Measuring consensus in a preference-approval context. Erdamar B., Garcia-Lapresta J.L., Pèrez-Roman D., Remzi Sanver M.
Soddsifatti?[/quote]
Sì... Anzi meglio così.

A volte c'è bisogno di contesto, perché i termini sono usati differentemente in branche differenti.
Quindi calma.

[fulcanelli]

"cionilorenzo":Ciao a tutt*
in un articolo che sto leggendo ho trovato una definizione di weak order su $X$ come una relazione binaria transitiva e completa su $X$. Dato che la relazione è completa viene detto che è riflessiva. Questa cosa non mi torna molto.

Come ti ho detto, è ovvio.

Se così fosse la relazione $>$ su qualunque insieme numerico non sarebbe un weak order o sbaglio?

Definisci la relazione \(>\); se intendi quello che ho scritto sopra, sì, sbagli. Ogni ordine totale è un weak order.

Sempre nello stesso articolo si legge che se si aggiunge l'antisimmetria si ha un linear order

Questo significa che se un insieme è un weak order, e la relazione che lo rende tale è antisimmetrica, questo è un ordine lineare; il fatto è che guardando il paper a me questa sembra una definizione, più che una proposizione. Gli ordini lineari, infatti, sono un'altra cosa. Quel paper non è di matematica; è plausibile che la nomenclatura propria della teoria degli ordini non sia pertinenza degli autori.

un weak order può essere linearizzato in più modi diversi.

anche la risposta a questa domanda dipende. Intanto, spiega cosa significa linearizzare un weak order; se significa semplicemente chiudere per antisimmetria la relazione $R$ che lo rende tale, è chiaro che ne esistano tante in generale. Ci sarà la più piccola (l'intersezione di tutte le $S$ antisimmetriche contenenti $R$), ma ce ne saranno tante altre.

[Studente Anonimo]

"j18eos":[quote="cionilorenzo"][...] Ho il cartaceo [...]

Ok: di grazia, autor* e titolo per controllare meglio?! [/quote]
[ot]Il femminile di "autore" è "autrice", quindi dovresti scrivere "aut****" per includere tutti i casi [/ot]

[j18eos]

@cionilorenzo Credimi: le fonti originali sono sempre le migliori da leggere; almeno che non si tratti di una riscrittura aggiornata delle stesse.

@Martino [ot]:lol: [/ot]

[gabriella127]

[ot]

"Martino":[quote="j18eos"][quote="cionilorenzo"][...] Ho il cartaceo [...]

Ok: di grazia, autor* e titolo per controllare meglio?! [/quote]
[ot]Il femminile di "autore" è "autrice", quindi dovresti scrivere "aut****" per includere tutti i casi [/quote]

Non si diceva 'autoressa'?

Comunque, io sono contraria a questa femminilizzazione di tutto, sono per il termine maschile, se è quello l'uso, perché equivale a un neutro. Io se fossi sindaco o ministro (e, per il bene della collettività, non lo sarò mai) darei un pugno a chi mi chiamasse sindaca, o peggio, ministra, orribili e inutili.

Ci sono casi in cui il termine generico è femminile, ad esempio 'sentinella': e allora, se è un uomo che dobbiamo dire, il 'sentinello'?
Mi sembrano deformazioni da eccesso di politicalliy correct, che invece di dimenticare la discriminazione tra sessi, non fa che sottolinearla e quindi rinforzarla.[/ot]

[cionilorenzo]

"fulcanelli":[quote="cionilorenzo"]Ciao a tutt*
in un articolo che sto leggendo ho trovato una definizione di weak order su $X$ come una relazione binaria transitiva e completa su $X$. Dato che la relazione è completa viene detto che è riflessiva. Questa cosa non mi torna molto.

Come ti ho detto, è ovvio.[/quote]
Per me non lo è affatto per cui se dettagli te ne sono grato

Se così fosse la relazione $>$ su qualunque insieme numerico non sarebbe un weak order o sbaglio?

Definisci la relazione \(>\); se intendi quello che ho scritto sopra, sì, sbagli. Ogni ordine totale è un weak order.

Solo se vale la transitività....

Sempre nello stesso articolo si legge che se si aggiunge l'antisimmetria si ha un linear order

Questo significa che se un insieme è un weak order, e la relazione che lo rende tale è antisimmetrica, questo è un ordine lineare; il fatto è che guardando il paper a me questa sembra una definizione, più che una proposizione. Gli ordini lineari, infatti, sono un'altra cosa. Quel paper non è di matematica; è plausibile che la nomenclatura propria della teoria degli ordini non sia pertinenza degli autori.

Quindi può essere che per gli autori un ordinamento lineare sia analogo ad una successione di punti sull'asse reale?

un weak order può essere linearizzato in più modi diversi.

anche la risposta a questa domanda dipende. Intanto, spiega cosa significa linearizzare un weak order; se significa semplicemente chiudere per antisimmetria la relazione $R$ che lo rende tale, è chiaro che ne esistano tante in generale. Ci sarà la più piccola (l'intersezione di tutte le $S$ antisimmetriche contenenti $R$), ma ce ne saranno tante altre.

Se hai letto il paper sai che mi riferisco all'affermazione fatta in fondo a pagina 5.
Cmq grazie delle risposte, ci medito sopra e vedo di venire a capo di qualcosa.
Lorenzo

[gugo82]

[ot]

"gabriella127":[quote="Martino"][quote="j18eos"]Ok: di grazia, autor* e titolo per controllare meglio?!

[ot]Il femminile di "autore" è "autrice", quindi dovresti scrivere "aut****" per includere tutti i casi [/quote]

Non si diceva 'autoressa'? [/quote]
Io pensavo "autista"... [/ot]

[fulcanelli]

"cionilorenzo":Per me non lo è affatto per cui se dettagli te ne sono grato

Un ordine è totale se almeno una tra le due \(a \le b\) e \(b\le a\) vale; se prendi \(a=b\), almeno una tra le due tra \(a \le a\) e \(a\le a\) vale, quindi \(a\le a\).

Solo se vale la transitività....

La definizione di "ordine" la presuppone.

[j18eos]

Riporto le proprietà che definiscono le relazione d'ordine \(\displaystyle\leq\) su un insieme \(\displaystyle S\) (non vuoto), per chi non se le ricordasse:
[list=1]
[*:277pdp6p]riflessiva, ovvero \(\displaystyle\forall x\in S,\,x\leq x\);[/*:m:277pdp6p]
[*:277pdp6p]asimmetrica, ovvero \(\displaystyle\forall x,y\in S\mid x\leq y\,e\,y\leq x\Rightarrow x=y\);[/*:m:277pdp6p]
[*:277pdp6p]transitiva, ovvero \(\displaystyle\forall x,y,z\in S\mid x\leq y,y\leq z\Rightarrow x\leq z\).[/*:m:277pdp6p][/list:o:277pdp6p]

[cionilorenzo]

"fulcanelli":[quote="cionilorenzo"]Per me non lo è affatto per cui se dettagli te ne sono grato

Un ordine è totale se almeno una tra le due \(a \le b\) e \(b\le a\) vale; se prendi \(a=b\), almeno una tra le due tra \(a \le a\) e \(a\le a\) vale, quindi \(a\le a\).

Solo se vale la transitività....

La definizione di "ordine" la presuppone.[/quote]
Perfetto, grazie.
Lorenzo (in ritardissimo)

[cionilorenzo]

"j18eos":Riporto le proprietà che definiscono le relazione d'ordine \(\displaystyle\leq\) su un insieme \(\displaystyle S\) (non vuoto), per chi non se le ricordasse:
[list=1]
[*:21yxegpw]riflessiva, ovvero \(\displaystyle\forall x\in S,\,x\leq x\);[/*:m:21yxegpw]
[*:21yxegpw]asimmetrica, ovvero \(\displaystyle\forall x,y\in S\mid x\leq y\,e\,y\leq x\Rightarrow x=y\);[/*:m:21yxegpw]
[*:21yxegpw]transitiva, ovvero \(\displaystyle\forall x,y,z\in S\mid x\leq y,y\leq z\Rightarrow x\leq z\).[/*:m:21yxegpw][/list:o:21yxegpw]

Mi sono accattato il Roberts "Measurement theory" e sto cercando di capirci qualcosa ma so' de coccio.
A parte che secondo lui (a pagina 15) nessuna delle relazioni d'ordine che lui introduce (quasi order, weak order, simple=total order, strict simple order, stict weak order, partial order, strict partial order) è definita da tutte e tre le proprietà che dici te il quesito è il seguente.
Come si dimostra esplicitamente e formalmente che:
1 simmetria e asimmetria sono incompatibili,
2 simmetria e antisimmetria sono compatibili.
A occhio mi tornano ma vorrei sapere come si procede in modo formale, "da matematici" per capirsi.
Grazie.
Lorenzo (auguri a tutt* di buona Pasqua)

[fulcanelli]

1 simmetria e asimmetria sono incompatibili,

Quanto segue funziona, ovviamente, se assumi LEM. L'altra si fa allo stesso modo.

Asimmetria significa che se \(R(a,b)\) allora \(\lnot R(b,a)\), simmetria significa che \(R(a,b) \iff R(b,a)\); supponi che \(R\) sia una relazione simmetrica e asimmetrica allo stesso tempo; allora per ogni (a,b) tale che \(R(a,b)\) deve valere
\[R(a,b) \Rightarrow \big(R(b,a)\land \lnot R(b,a)\big) \, = \, R(a,b) \Rightarrow \perp \,\, =\,\, \perp\]perché per ogni funzione proposizionale \(p\), \(p \Rightarrow \perp \,=\, \perp\), dove \(\perp\) è la proposizione costantemente falsa.

Perciò, l'unica relazione allo stesso tempo simmetrica e asimmetrica è la relazione vuota.