Quesito su anello di polinomi e anello quoziente
Ciao a tutti, sono un nuovo iscritto e ho urgentemente bisogno di una mano con questo quesito di Algebra. Premetto che le mie basi non sono proprio ferrate, anzi, quindi sto cercando di imparare anche facendo degli esercizi ma questo qui, comparso al primo appello di quest'anno ad Ingegneria Informatica mi risulta particolarmente ostico.
Sia \(\displaystyle A = Z_3[x] \) l'anello dei polinomi nell'indeterminata \(\displaystyle x \) a coefficienti in \(\displaystyle Z_3 \).
Si consideri il polinomio \(\displaystyle f(x)=x^3+2x+1\in Z_3[x] \) e sia \(\displaystyle I=(f(x)) \) l'ideale di \(\displaystyle Z_3[x] \) generato da \(\displaystyle f(x) \):
a) provare che \(\displaystyle f(x) \) è irriducibile in \(\displaystyle Z_3[x] \) (risposta da me trovata: è irriducibile in quanto non ha radici in \(\displaystyle Z_3 \))
b) dire se nell'anello \(\displaystyle Z_3[x]/I \) l'elemento \(\displaystyle 2x+1+I \) ammette inverso e determinarlo (non ho idea di come capisca se esiste o meno prima di calcolarlo, nel dubbio l'ho trovato tramite un'equazione di cui non conosco l'origine ma che mi permette di rispondere a questo genere di quesiti: \(\displaystyle 1=f(x)+p(x)i(x) \), dove \(\displaystyle f(x) \) è la funzione data, \(\displaystyle p(x) \) è la funzione/l'elemento di cui trovare l'inverso e \(\displaystyle i(x) \) è la funzione inversa; la funzione inversa dovrebbe essere \(\displaystyle i(x)=\frac{1}{2}\ x^2+\frac{1}{4}\ x+\frac{7}{8}\ +I \) che ovviamente non appartiene a \(\displaystyle Z_3[x]/I \))
c) determinare l'ordine dell'anello \(\displaystyle Z_3[x]/I \) e dire se ammette divisori dello zero non nulli.
L'ultimo punto mi è poco chiaro, con "ordine" intende la cardinalità dell'anello? Oppure si riferisce ad un sottoanello visto che chiede di trovare dei "divisori dello zero non nulli"? E' un problema concettuale per me, perché so cosa contiene un anello quoziente dato da un insieme su un suo ideale ma non so quanti elementi contiene (potenzialmente infiniti mi pare di capire) né come trovare degli eventuali divisori dello zero (non nulli, si intende).
Grazie in anticipo per le risposte, spero di arrivare alla soluzione prima della fine del mese. Incrociamo le dita
Sia \(\displaystyle A = Z_3[x] \) l'anello dei polinomi nell'indeterminata \(\displaystyle x \) a coefficienti in \(\displaystyle Z_3 \).
Si consideri il polinomio \(\displaystyle f(x)=x^3+2x+1\in Z_3[x] \) e sia \(\displaystyle I=(f(x)) \) l'ideale di \(\displaystyle Z_3[x] \) generato da \(\displaystyle f(x) \):
a) provare che \(\displaystyle f(x) \) è irriducibile in \(\displaystyle Z_3[x] \) (risposta da me trovata: è irriducibile in quanto non ha radici in \(\displaystyle Z_3 \))
b) dire se nell'anello \(\displaystyle Z_3[x]/I \) l'elemento \(\displaystyle 2x+1+I \) ammette inverso e determinarlo (non ho idea di come capisca se esiste o meno prima di calcolarlo, nel dubbio l'ho trovato tramite un'equazione di cui non conosco l'origine ma che mi permette di rispondere a questo genere di quesiti: \(\displaystyle 1=f(x)+p(x)i(x) \), dove \(\displaystyle f(x) \) è la funzione data, \(\displaystyle p(x) \) è la funzione/l'elemento di cui trovare l'inverso e \(\displaystyle i(x) \) è la funzione inversa; la funzione inversa dovrebbe essere \(\displaystyle i(x)=\frac{1}{2}\ x^2+\frac{1}{4}\ x+\frac{7}{8}\ +I \) che ovviamente non appartiene a \(\displaystyle Z_3[x]/I \))
c) determinare l'ordine dell'anello \(\displaystyle Z_3[x]/I \) e dire se ammette divisori dello zero non nulli.
L'ultimo punto mi è poco chiaro, con "ordine" intende la cardinalità dell'anello? Oppure si riferisce ad un sottoanello visto che chiede di trovare dei "divisori dello zero non nulli"? E' un problema concettuale per me, perché so cosa contiene un anello quoziente dato da un insieme su un suo ideale ma non so quanti elementi contiene (potenzialmente infiniti mi pare di capire) né come trovare degli eventuali divisori dello zero (non nulli, si intende).
Grazie in anticipo per le risposte, spero di arrivare alla soluzione prima della fine del mese. Incrociamo le dita
Risposte
UP!
Ciao,
a)ok
b)Z3[x] è un anello euclideo, quindi vale il lemma di bezout per cui se $(f, g) = 1$ allora esistono $h, k \in \mathbb{Z_3}[X]$ Tali Che $1 = hf+kg$ l, passando a modulo $(f)$ hai che $ 1 = \bar{kg} mod (f)$. In pratica gli invertibili nel tuo quoziente sono tutti e soli i polinomi coprimi con $f$.
3) sì per ordine s'intende la cardinalità del quoziente, per gli zeri divisori sfrutta la definizione(e ricordati che $f$ è irriducibile!)
a)ok
b)Z3[x] è un anello euclideo, quindi vale il lemma di bezout per cui se $(f, g) = 1$ allora esistono $h, k \in \mathbb{Z_3}[X]$ Tali Che $1 = hf+kg$ l, passando a modulo $(f)$ hai che $ 1 = \bar{kg} mod (f)$. In pratica gli invertibili nel tuo quoziente sono tutti e soli i polinomi coprimi con $f$.
3) sì per ordine s'intende la cardinalità del quoziente, per gli zeri divisori sfrutta la definizione(e ricordati che $f$ è irriducibile!)
Grazie per la risposta, ma rimane un'ultima spintarella necessaria a raggiungere il traguardo, si tratta di una conferma più che altro.
Gli zero divisori di \(\displaystyle Z_3[x]/I \) sono gli zero divisori di \(\displaystyle f(x)=x^3+2x+1 \)? Perché in tal caso essendo \(\displaystyle f(x)=x^3+2x+1 \) irriducibile non si potrebbe scomporre in un prodotto di fattori, e dunque non si potrebbe risalire ai suoi zero divisori e da ciò si capisce che non ne ha.
Detto ciò mi risulterebbe ugualmente difficile trovare lo zero divisore di un altro polinomio.
Se avessi avuto qualcosa del tipo \(\displaystyle Z10[x]/f(x) \) con \(\displaystyle f(x)=x^2+5x+4=(x+1)(x+4) \), considerato \(\displaystyle x+4\neq0 \) avrei dovuto trovare un \(\displaystyle x+1\neq0 \) tale che \(\displaystyle (x+1)(x+4)=0 \), giusto?
Così, giusto per fare capire visto che mi sono un po' perso nel ragionamento (e visto che non ho visto un solo esercizio che spiegasse l'algoritmo da seguire), che faccio? Metto a sistema qualcosa? Devo tenere conto del modulo \(\displaystyle f \)?
Inoltre...
...e quindi quanti elementi ho? XD
Davvero, il fatto di aver una sommatoria non aiuta, una somma dà un singolo elemento (a meno che non abbia frainteso il senso), dunque cardinalità 1, il fatto di mettere una funzione nella sommatoria mi confonde le idee perché non ho idea di cosa possa significare. Sono certo che la n-upla di coefficienti $a$ possa essermi utile, peccato che non sappia operare con variabili così vaghe
Gli zero divisori di \(\displaystyle Z_3[x]/I \) sono gli zero divisori di \(\displaystyle f(x)=x^3+2x+1 \)? Perché in tal caso essendo \(\displaystyle f(x)=x^3+2x+1 \) irriducibile non si potrebbe scomporre in un prodotto di fattori, e dunque non si potrebbe risalire ai suoi zero divisori e da ciò si capisce che non ne ha.
Detto ciò mi risulterebbe ugualmente difficile trovare lo zero divisore di un altro polinomio.
Se avessi avuto qualcosa del tipo \(\displaystyle Z10[x]/f(x) \) con \(\displaystyle f(x)=x^2+5x+4=(x+1)(x+4) \), considerato \(\displaystyle x+4\neq0 \) avrei dovuto trovare un \(\displaystyle x+1\neq0 \) tale che \(\displaystyle (x+1)(x+4)=0 \), giusto?
Così, giusto per fare capire visto che mi sono un po' perso nel ragionamento (e visto che non ho visto un solo esercizio che spiegasse l'algoritmo da seguire), che faccio? Metto a sistema qualcosa? Devo tenere conto del modulo \(\displaystyle f \)?
Inoltre...
"Richard_Dedekind":
Supponiamo di avere un campo \(\mathbb{F}\) e un polinomio \(f\in\mathbb{F}[x]\) di grado \(n\). Vogliamo studiare che tipo di polinomi ci sono nel quoziente \(\mathbb{F}[x]/(f)\).Tale insieme è dato da:
\[\{g+(f)\,|\,g\in\mathbb{F}[x]\}\]
Ora, per il teorema di riduzione, qualunque sia \(g\in \mathbb{F}[x]\), esistono unici i polinomi \(q,r\in \mathbb{F}[x]\) con \(\deg(r)=0\) o \(\deg(r)<\deg(f)\) tali che
\[g=fq+r\]
Dunque, passando al quoziente, il polinomio \(g\) è rappresentato in modo UNICO dal suo resto secondo la divisione per \(f\). In altre parole, se \(f\) ha grado \(n\),
\[\mathbb{F}[x]/(f)=\{a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+(f)\,|\,a_i\in\mathbb{F}\,\,\forall i=0,\dots,n-1\}\]
...e quindi quanti elementi ho? XD
Davvero, il fatto di aver una sommatoria non aiuta, una somma dà un singolo elemento (a meno che non abbia frainteso il senso), dunque cardinalità 1, il fatto di mettere una funzione nella sommatoria mi confonde le idee perché non ho idea di cosa possa significare. Sono certo che la n-upla di coefficienti $a$ possa essermi utile, peccato che non sappia operare con variabili così vaghe
"Filottete09":
Grazie per la risposta, ma rimane un'ultima spintarella necessaria a raggiungere il traguardo, si tratta di una conferma più che altro.
Gli zero divisori di \(\displaystyle Z_3[x]/I \) sono gli zero divisori di \(\displaystyle f(x)=x^3+2x+1 \)?
Sono i divisori di $f(x)$, sì.
Perché in tal caso essendo \(\displaystyle f(x)=x^3+2x+1 \) irriducibile non si potrebbe scomporre in un prodotto di fattori, e dunque non si potrebbe risalire ai suoi zero divisori e da ciò si capisce che non ne ha.
ok
Detto ciò mi risulterebbe ugualmente difficile trovare lo zero divisore di un altro polinomio.
Se avessi avuto qualcosa del tipo \(\displaystyle Z10[x]/f(x) \) con \(\displaystyle f(x)=x^2+5x+4=(x+1)(x+4) \), considerato \(\displaystyle x+4\neq0 \) avrei dovuto trovare un \(\displaystyle x+1\neq0 \) tale che \(\displaystyle (x+1)(x+4)=0 \), giusto?
Beh in tal caso i divisori dello zero sono proprio $x+1$, $x+4$ e relativi multipli.
Così, giusto per fare capire visto che mi sono un po' perso nel ragionamento (e visto che non ho visto un solo esercizio che spiegasse l'algoritmo da seguire), che faccio? Metto a sistema qualcosa? Devo tenere conto del modulo \(\displaystyle f \)?
In un quoziente $A // I$ uno zero divisore $\bar(f) \in A//I$ è un elemento per cui esiste almeno un $\bar(g) \in A // I$ non nullo(quindi $g \notin I$ tale che $\bar{fg} = I$, cioè $fg \in I$.
Nel caso dei polinomi in una variabile basta scomporre ragionare sui fattori del polinomio che generano $I$.
Inoltre...
"Richard_Dedekind":
Davvero, il fatto di aver una sommatoria non aiuta, una somma dà un singolo elemento (a meno che non abbia frainteso il senso), dunque cardinalità 1, il fatto di mettere una funzione nella sommatoria mi confonde le idee perché non ho idea di cosa possa significare. Sono certo che la n-upla di coefficienti $a$ possa essermi utile, peccato che non sappia operare con variabili così vaghe
Supponiamo $\mathbb{F}$ finito di cardinalità $k$.
Ogni polinomio nel quoziente è del tipo ${a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+(f)\,|\,a_i\in\mathbb{F}\,\,\forall i=0,\dots,n-1\}\]$. Un polinomio nel quoziente è completamente determinato dai suoi coefficienti $a_0, ..., a_(n-1) \in \mathbb{F}$, la domanda che devi porti è: in quanti modi posso scegliere i coefficienti? Beh per $a_0$ ho ben $k$(cardinalità di $\mathbb{F}$ modi, per $a_1$ ne ho sempre $k$(a me interessano tutti i possibili polinomi, non quelli con tutti coefficienti diversi o altre cose strane), e così via fino a $a_(n-1)$. Per cui in totale ho $k^(n-1)$ polinomi nel quoziente. Capito il ragionamento?
Grandissimo Shocker, 10/10. Come direbbe il caro Kintaro Oe, "ho imparato qualcosa" 
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