Quesito di aritmetica modulare

[Sascia63]

Salve sono uno studente delle superiori ed ho iniziato a studiare per conto mio un po' di aritmetica modulare.
Mi sono imbattuto in un problema,so che: $ x^(phi(m))-= 1 mod(m) $ quando x e m sono interi coprimi; per $ AA x,m in \mathbb {N^** } $ non necessariamente coprimi mi sono accorto che vale allora:
$ x^(phi(m))-= x^(n*phi(m)) mod(m), AA nin \mathbb {N^** } $ non sono però riuscito a trovare dimostrazioni di quest'ultima formula. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[save98]

Posso provare a darti una dimostrazione intuitiva, spero faccia al caso tuo.
Scrivere $x^(n*phi(m))$ equivale a scrivere $n$ volte $x^(phi(m))*x^(phi(m))*x^(phi(m))* ....... *x^(phi(m))$ e sapendo che $x^(phi(m))-=1 mod m$ sostituendo ottieni $1*1*1*.......*1$ che è ovviamente congruo ad uno modulo m.
Spero di esserti stato d'aiuto.

[Sascia63]

Si quello che dici tu vale solo quando $ x $ ed $m $ sono coprimi.In caso contrario il teorema di Eulero non è applicabile.

[Sascia63]

"dondolando":Posso provare a darti una dimostrazione intuitiva, spero faccia al caso tuo.
Scrivere $x^(n*phi(m))$ equivale a scrivere $n$ volte $x^(phi(m))*x^(phi(m))*x^(phi(m))* ....... *x^(phi(m))$ e sapendo che $x^(phi(m))-=1 mod m$ sostituendo ottieni $1*1*1*.......*1$ che è ovviamente congruo ad uno modulo m.
Spero di esserti stato d'aiuto.

Si quello che dici tu vale solo quando $ x $ ed $m $ sono coprimi.In caso contrario il teorema di Eulero non è applicabile.

[Martino]

Osserva che detto [tex]y=x^{\phi(m)}[/tex] basta mostrare che [tex]y^2 \equiv y[/tex] modulo $m$ (perché questo implica che [tex]y^n \equiv y \mod m[/tex] per ogni $n$, chiaramente). In altre parole bisogna mostrare che $m$ divide $y^2-y = y(y-1)$. Questo si può fare con qualche considerazione aritmetica, più tardi se vuoi lo scrivo.

[Sascia63]

Okay grazie mille, ho capito il tuo ragionamento ma non so come continuare. Comunque grazie per avermi aperto gli occhi avevo intuito ma non ero sicuro.