Quaternioni su un campo finito che non sono un corpo.
Sia \( \mathbb{F} \) un campo di caratteristica diversa da 2. Definiamo l'anello dei quaternioni su \( \mathbb{F} \), denotato \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}} \), come spazio vettoriale su \( \mathbb{F} \) dato da
\[ \mathbb{H}_{\mathbb{F}} = \mathbb{F} \oplus \mathbb{F} i \oplus \mathbb{F} j \oplus \mathbb{F} k \]
insieme alla struttura di anelli data da
\[ i^2=j^2=k^2 = -1 \]
\[ ij = -ji \]
e
\[ k = ij \]
Per \( q = x + yi + zj + wk \) definiamo \( \overline{q} = x - yi - zj - wk \) e \( N(q) = q \overline{q} \).
1) Dimostra che \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}} \) è un corpo (division ring) se e solo se la norma \( N : \mathbb{H}_{\mathbb{F}} \to \mathbb{F} \) è non degenere, i.e. \( N(q) = 0 \) se e solo se \(q= 0 \).
2) Sia \(p \neq 2 \) un primo. Dimostra che \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \) non è un corpo.
Hint: Dimostra che gli insiemi \( A = \{ x^2 +1 : x \in \mathbb{F}_p \} \) e \( B = \{ -z^2 : z \in \mathbb{F}_p \} \) soddisfano \( A \cap B \neq \empty \).
Per 1) non ho nessuna idea...
Per due evidentemente pensavo di dimostrare che \( N \) è degenere e se dimostro che quegli insiemi hanno intersezione non vuota allora siccome la norma di \(q \) soddisfa \( N(q) = x^2+y^2+z^2 + w^2 \) allora ponendo ad esempio \( q:= x + i + zj \neq 0 \) ottengo che \( N(q) = x^2 + 1 + z^2 = -z^2 + z^2 = 0 \).
Quindi \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \) non è un corpo.
Per dimostrare che quei due insiemi hanno intersezione non vuota ho pensato di dimostrare che
\[ x^2 + z^2 + 1 \equiv 0 \mod p \]
Per il teorema di Fermat abbiamo che se \( p-1 \) è prodotto di un quadrato e prodotto di numeri primi che sono \( \equiv 1,2 \mod 4 \), o in modo equivalente \(p-1\) non contiene nella sua decomposizione in fattori primi fattori della forma \(q^r \) con \( q \equiv 3 \mod 4 \) e \(r \) dispari. Supponiamo sia il caso allora esistono \( x,z \) tale che \( x^2+z^2 = p-1 \) dunque \(x^2+1+z^2 = p \) pertanto abbiamo finito siccome \( x^2 + 1 \equiv - z^2 \mod p \).
Se invece \(p-1 \) non è somma di due quadrati vuol dire dunque che \( p-1 \) contiene un fattore della forma \(q^r \) con \(r\) dispari e \(q \equiv 3 \mod 4 \). Proviamo dunque che esiste \( n> 1 \) tale che \(np -1 \) è somma di due quadrati.
Sia
\[ p-1 = q^r \prod_{\ell=1}^{m } p_{\ell}^{\alpha_{\ell}} \]
Grazie al teorema di dirichlet sappiamo che esistono infiniti primi nella progression artimetica \(np-1 \). Voglio dimostrare che esiste almeno uno che è della forma \( np-1 \equiv 1 \mod 4 \). In questo modo abbiamo che \( np-1 \) è un primo ed è somma di due quadrati. Il problema è che non so come fare
Per il punto 1) invece non ho idee.
\[ \mathbb{H}_{\mathbb{F}} = \mathbb{F} \oplus \mathbb{F} i \oplus \mathbb{F} j \oplus \mathbb{F} k \]
insieme alla struttura di anelli data da
\[ i^2=j^2=k^2 = -1 \]
\[ ij = -ji \]
e
\[ k = ij \]
Per \( q = x + yi + zj + wk \) definiamo \( \overline{q} = x - yi - zj - wk \) e \( N(q) = q \overline{q} \).
1) Dimostra che \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}} \) è un corpo (division ring) se e solo se la norma \( N : \mathbb{H}_{\mathbb{F}} \to \mathbb{F} \) è non degenere, i.e. \( N(q) = 0 \) se e solo se \(q= 0 \).
2) Sia \(p \neq 2 \) un primo. Dimostra che \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \) non è un corpo.
Hint: Dimostra che gli insiemi \( A = \{ x^2 +1 : x \in \mathbb{F}_p \} \) e \( B = \{ -z^2 : z \in \mathbb{F}_p \} \) soddisfano \( A \cap B \neq \empty \).
Per 1) non ho nessuna idea...
Per due evidentemente pensavo di dimostrare che \( N \) è degenere e se dimostro che quegli insiemi hanno intersezione non vuota allora siccome la norma di \(q \) soddisfa \( N(q) = x^2+y^2+z^2 + w^2 \) allora ponendo ad esempio \( q:= x + i + zj \neq 0 \) ottengo che \( N(q) = x^2 + 1 + z^2 = -z^2 + z^2 = 0 \).
Quindi \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \) non è un corpo.
Per dimostrare che quei due insiemi hanno intersezione non vuota ho pensato di dimostrare che
\[ x^2 + z^2 + 1 \equiv 0 \mod p \]
Per il teorema di Fermat abbiamo che se \( p-1 \) è prodotto di un quadrato e prodotto di numeri primi che sono \( \equiv 1,2 \mod 4 \), o in modo equivalente \(p-1\) non contiene nella sua decomposizione in fattori primi fattori della forma \(q^r \) con \( q \equiv 3 \mod 4 \) e \(r \) dispari. Supponiamo sia il caso allora esistono \( x,z \) tale che \( x^2+z^2 = p-1 \) dunque \(x^2+1+z^2 = p \) pertanto abbiamo finito siccome \( x^2 + 1 \equiv - z^2 \mod p \).
Se invece \(p-1 \) non è somma di due quadrati vuol dire dunque che \( p-1 \) contiene un fattore della forma \(q^r \) con \(r\) dispari e \(q \equiv 3 \mod 4 \). Proviamo dunque che esiste \( n> 1 \) tale che \(np -1 \) è somma di due quadrati.
Sia
\[ p-1 = q^r \prod_{\ell=1}^{m } p_{\ell}^{\alpha_{\ell}} \]
Grazie al teorema di dirichlet sappiamo che esistono infiniti primi nella progression artimetica \(np-1 \). Voglio dimostrare che esiste almeno uno che è della forma \( np-1 \equiv 1 \mod 4 \). In questo modo abbiamo che \( np-1 \) è un primo ed è somma di due quadrati. Il problema è che non so come fare
Per il punto 1) invece non ho idee.
Risposte
Forse basta ragionare come coi complessi, mostrando che $q^(-1)$ si può calcolare razionalizzando, ossia con un'uguaglianza tipo $q^(-1) = (bar(q))/(N(q))$... Prova, ma può essere che mi sbagli.
Ti complichi sempre molto la vita... Per 1) basta dimostrare che la norma è moltiplicativa. Per 2), qual è la cardinalità di A e B?
Da un lato, se $A$ è un corpo, e \(x\in A\) è un'unità, \(N(x)N(x^{-1})=1\), quindi N(x) non può essere zero, perché \(\mathbb F\) è un campo; viceversa, si usa semplicemente la definizione di norma.
"hydro":
Ti complichi sempre molto la vita...
Spesso mi succede, sì! Ma devo ancora bene capire le tecniche che si usano in algebraic number theory.
"hydro":
Per 1) basta dimostrare che la norma è moltiplicativa.
Okay ho dimostrato (che brutto ahaha) che la norma è moltiplicativa, quindi se \(N(q_1 q_2)=N(q_1)N(q_2) \).
Quindi, come dice giustamente fulcanelli, preso \(1=N(1)= N(qq^{-1} ) = N(q)N(q^{-1}) \). Quindi se \( q=0 \) allora \(N(0)= 0 \). Inversamente deriva dalla definizione di norma giustappunto.
"hydro":
Per 2), qual è la cardinalità di A e B?
Abbiamo che \( x^2 = y^2 \in \mathbb{F}_p \) se e solo se \( x= \pm y \), tra gli elementi non nulli di \( \mathbb{F}_p \) possiamo scegliere \( (p-1)/2\) di cui nessuno è inverso di un altro. Pertanto anche i quadrato di questi elementi scelti saranno diversi. Inoltre \(0 \in B\) e abbiamo dunque che la cardinalità \( \left| B \right| \geq (p+1)/2 \).
La stessa argomentazione vale per \( A\) e dunque per il principio dei cassetti concludiamo che \( A \cap B \neq \emptyset \), siccome \( \mathbb{F}_p \) contiene \(p\) elementi. Fertig!
"3m0o":
Abbiamo che \( x^2 = y^2 \in \mathbb{F}_p \) se e solo se \( x= \pm y \), tra gli elementi non nulli di \( \mathbb{F}_p \) possiamo scegliere \( (p-1)/2\) di cui nessuno è inverso di un altro. Pertanto anche i quadrato di questi elementi scelti saranno diversi. Inoltre \(0 \in B\) e abbiamo dunque che la cardinalità \( \left| B \right| \geq (p+1)/2 \).
La stessa argomentazione vale per \( A\) e dunque per il principio dei cassetti concludiamo che \( A \cap B \neq \emptyset \), siccome \( \mathbb{F}_p \) contiene \(p\) elementi. Fertig!
Mmmh... non mi convince... se lo zero è in \(A\) allora ho in entrambi i casi \( (p+1)/2 + (p+1)/2 > p \) elementi (d'altronde lo zero è banalmente in B quindi l'intersezione non è vuota). Se lo zero non è in \(A\) allora considerando gli elementi non nulli di entrambi ho almeno \( (p-1)/2 + (p-1)/2 = p-1 \), potrei dunque avere intersezione vuota.
"3m0o":
Mmmh... non mi convince... se lo zero è in \(A\) allora ho in entrambi i casi \( (p+1)/2 + (p+1)/2 > p \) elementi (d'altronde lo zero è banalmente in B quindi l'intersezione non è vuota). Se lo zero non è in \(A\) allora considerando gli elementi non nulli di entrambi ho almeno \( (p-1)/2 + (p-1)/2 = p-1 \), potrei dunque avere intersezione vuota.
Okay mi convince perché \( \operatorname{card}(A) = \operatorname{card}(\{x^2 : x \in \mathbb{F}_p \}) = \operatorname{card}(B) \).
L'esercizio comunque sia continua e arriva una parte che mi confonde non poco.
Definiamo \( \mathbb{H} \subset \mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) nel seguente modo
\[ \mathbb{H} := \{ (a+bi+cj+dk)/2 : a,b,c,d \in \mathbb{Z}, a \equiv b \equiv c \equiv d \mod 2 \}\]
3) Dimostra che \( \mathbb{H} \) è un sottoanello di \( \mathbb{H}_{\mathbb{Q} } \) e che \( N(\mathbb{H}) \subset \mathbb{N} \). Questo annello si chiama anello di Hurwitz.
4) Dimostra che \( \mathbb{H} \) è un (non commutativo) anello Euclideo. Ovvero per ogni \( x,y \in \mathbb{H} \) con \( y \neq 0 \) esistono \( z,w \in \mathbb{H} \) tale che \(x=yz+w \) e \( N(w) < N(y) \).
5) Per ogni \(z \in \mathbb{H} \), abbiamo \( N(z) = 1 \Leftrightarrow z \in \mathbb{H}^{\times} \)
6) Sia \( p \neq 2 \) un primo. Dimostra che abbiamo un isomorfismo di anelli
\[ \mathbb{H}/p \mathbb{H} \cong \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \]
e concludi che esiste \( x \in \mathbb{H} \) tale che \(N(x) = p \).
7) Sia \(p \) un primo arbitrario. Dimostra che \(4p\) è somma di 4 quadrati, poi dimostra che \(2p\) è somma di quadrati.
8) Dimostra che ogni primo \(p \) è somma di 4 quadrati. Concludi che ogni intero positivo \(n\) è somma di 4 quadrati.
3)
È solo "calcoloso".
4) Io per dimostrare che è un anello Euclideo ho pensato di fare così. Dimostro che la norma non è degenera, per il punto 1) deduco che è un corpo da cui deduco che è Euclideo.
Poiché siccome è un corpo allora ogni elemento possiede un inverso moltiplicativo. Dunque ponendo \( y:= xz^{-1} \) e \( w= 0 \) abbiamo che \( x= yz + w = xz^{-1}z+0 = x + 0 \). E chiaramente \( N(w)=0 < N(x) \) poiché \(N\) è non degenera e \( x \neq 0 \).
Quindi dimostriamo che la norma non è degenera. Abbiamo che se \( x \in \mathbb{H} \) dove \( x= (a+bi+cj+dk)/2 \) allora \(N(x) = \frac{1}{4} \left( a^2+b^2+c^2+d^2 \right) = 0\) se e solo se \( a=b=c=d=0 \) se e solo se \(x= 0 \). Dunque \( \mathbb{H} \) è un corpo, in particolare è un anello Euclideo.
L'aspetto non commutativo arriva dalla struttura algebrica, per il fatto che \( ji = -ij \), ad esempio.
5) Io nel punto 4) ho dimostrato che \( \mathbb{H} \) è un corpo. Quindi ogni elemento di \( \mathbb{H} \) è un unità, in particolare \( \mathbb{H}^{\times} = \mathbb{H} \setminus \{ 0 \} \). Dunque il punto 5) diviene equivalente a: per ogni \( 0 \neq z \in \mathbb{H} \) risulta che \(N(z)=1 \). Ma questo mi sembra decisamente falso!
Dunque il punto 5) va in contraddizione (nel caso in cui \( \mathbb{H}^{\times} \) è tutto \( \mathbb{H} \setminus \{0 \} \) ) con il punto 6) dove, invece, mi chiede di dedurre l'esistenza di \(x \) tale che \(N(x) = p \).
Quindi ho il sospetto di stare mal interpretando il significato di \( \mathbb{H}^{\times} \). Oppure di aver commesso un errore nella mia dimostrazione nel punto 4) oppure di aver sbagliato qualcosa nel ragionamento del punto 5)
Definiamo \( \mathbb{H} \subset \mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) nel seguente modo
\[ \mathbb{H} := \{ (a+bi+cj+dk)/2 : a,b,c,d \in \mathbb{Z}, a \equiv b \equiv c \equiv d \mod 2 \}\]
3) Dimostra che \( \mathbb{H} \) è un sottoanello di \( \mathbb{H}_{\mathbb{Q} } \) e che \( N(\mathbb{H}) \subset \mathbb{N} \). Questo annello si chiama anello di Hurwitz.
4) Dimostra che \( \mathbb{H} \) è un (non commutativo) anello Euclideo. Ovvero per ogni \( x,y \in \mathbb{H} \) con \( y \neq 0 \) esistono \( z,w \in \mathbb{H} \) tale che \(x=yz+w \) e \( N(w) < N(y) \).
5) Per ogni \(z \in \mathbb{H} \), abbiamo \( N(z) = 1 \Leftrightarrow z \in \mathbb{H}^{\times} \)
6) Sia \( p \neq 2 \) un primo. Dimostra che abbiamo un isomorfismo di anelli
\[ \mathbb{H}/p \mathbb{H} \cong \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \]
e concludi che esiste \( x \in \mathbb{H} \) tale che \(N(x) = p \).
7) Sia \(p \) un primo arbitrario. Dimostra che \(4p\) è somma di 4 quadrati, poi dimostra che \(2p\) è somma di quadrati.
8) Dimostra che ogni primo \(p \) è somma di 4 quadrati. Concludi che ogni intero positivo \(n\) è somma di 4 quadrati.
3)
È solo "calcoloso".
4) Io per dimostrare che è un anello Euclideo ho pensato di fare così. Dimostro che la norma non è degenera, per il punto 1) deduco che è un corpo da cui deduco che è Euclideo.
Poiché siccome è un corpo allora ogni elemento possiede un inverso moltiplicativo. Dunque ponendo \( y:= xz^{-1} \) e \( w= 0 \) abbiamo che \( x= yz + w = xz^{-1}z+0 = x + 0 \). E chiaramente \( N(w)=0 < N(x) \) poiché \(N\) è non degenera e \( x \neq 0 \).
Quindi dimostriamo che la norma non è degenera. Abbiamo che se \( x \in \mathbb{H} \) dove \( x= (a+bi+cj+dk)/2 \) allora \(N(x) = \frac{1}{4} \left( a^2+b^2+c^2+d^2 \right) = 0\) se e solo se \( a=b=c=d=0 \) se e solo se \(x= 0 \). Dunque \( \mathbb{H} \) è un corpo, in particolare è un anello Euclideo.
L'aspetto non commutativo arriva dalla struttura algebrica, per il fatto che \( ji = -ij \), ad esempio.
5) Io nel punto 4) ho dimostrato che \( \mathbb{H} \) è un corpo. Quindi ogni elemento di \( \mathbb{H} \) è un unità, in particolare \( \mathbb{H}^{\times} = \mathbb{H} \setminus \{ 0 \} \). Dunque il punto 5) diviene equivalente a: per ogni \( 0 \neq z \in \mathbb{H} \) risulta che \(N(z)=1 \). Ma questo mi sembra decisamente falso!
Dunque il punto 5) va in contraddizione (nel caso in cui \( \mathbb{H}^{\times} \) è tutto \( \mathbb{H} \setminus \{0 \} \) ) con il punto 6) dove, invece, mi chiede di dedurre l'esistenza di \(x \) tale che \(N(x) = p \).
Quindi ho il sospetto di stare mal interpretando il significato di \( \mathbb{H}^{\times} \). Oppure di aver commesso un errore nella mia dimostrazione nel punto 4) oppure di aver sbagliato qualcosa nel ragionamento del punto 5)
Pensa bene a quali sono le ipotesi di 1) e quali sono quelle di 5)
Ah beh sì, \( \mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) è un corpo, ma non è necessariamente vero che gli invertibili di \( a \in \mathbb{H} \) stanno in \( \mathbb{H} \), a priori stanno solo in \( \mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \).
4)
Abbiamo che per \(x,y \in \mathbb{H} \) allora \( \frac{x}{y} \in mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) siccome \( \mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) è un corpo. Inoltre \( N \left( \frac{x}{y} \right) \in \mathbb{Q} \) e possiamo supporre senza perdita di generalità che \( ( N(x), N(y) )=1 \). Sia \(y \in \mathbb{H} \) tale che \( N(x) < N(y) \). Dunque esiste \( z \in \mathbb{H} \) tale che risulta che
\[ N(\frac{x}{y} - z) \leq \frac{1}{2} < 1 \]
infatti \( \frac{x}{y} \) sarà contenuto in un \(4\)-cubo di lato 1. Quindi esisterà un vertice intero che disterà da \( \frac{x}{y} \) che disterà meno di \( 1/4 \) della diagonale maggiore che vale \( \sqrt{4} \).
Pertanto
\[ N(x-yz) \leq \frac{N(y)}{2} < N(y) \]
Ponendo dunque \( w := x-yz \) abbiamo che \( N(w) < N(y) \) da cui concludiamo che \( \mathbb{H} \) è Euclideo.
5) Se \( N(x) = 1 \) allora abbiamo due casi possibili. \( a=b=c=d=1 \) oppure uno di questi è uguale a \(2\) e gli altri sono uguali a \(0\).
Se \( a=2 \) allora \( x^{-1} = \frac{1}{2} \) è un inverso.
Se \( b = 2 \) allora \( x^{-1} = - \frac{1}{2}i \) è un inverso (similmente per gli altri sostituendo \(j\) o \(k\) con \(i\).
Se sono tutti uguali ad \(1\) invece mi sa che ho fatto qualche errore di calcolo. Perché
\[ (1+i+j+k)(x+yi+zj+wk) = (x-y-z-w) + i(y+x+w-z) +j(z-w+x+y) +k(w+z-y+x) = 1 \]
allora ottengo che \( x= 1/4 \), \( y=z=w = -1/4 \). Ma questo numero non sta dentro \( \mathbb{H} \). Quindi \( 1+i+j+k \in \mathbb{H} \) tale che \( N(1+i+j+k) = 1 \) ma \( 1+i+j+k \not\in \mathbb{H}^{\times} \).
Abbiamo che per \(x,y \in \mathbb{H} \) allora \( \frac{x}{y} \in mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) siccome \( \mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) è un corpo. Inoltre \( N \left( \frac{x}{y} \right) \in \mathbb{Q} \) e possiamo supporre senza perdita di generalità che \( ( N(x), N(y) )=1 \). Sia \(y \in \mathbb{H} \) tale che \( N(x) < N(y) \). Dunque esiste \( z \in \mathbb{H} \) tale che risulta che
\[ N(\frac{x}{y} - z) \leq \frac{1}{2} < 1 \]
infatti \( \frac{x}{y} \) sarà contenuto in un \(4\)-cubo di lato 1. Quindi esisterà un vertice intero che disterà da \( \frac{x}{y} \) che disterà meno di \( 1/4 \) della diagonale maggiore che vale \( \sqrt{4} \).
Pertanto
\[ N(x-yz) \leq \frac{N(y)}{2} < N(y) \]
Ponendo dunque \( w := x-yz \) abbiamo che \( N(w) < N(y) \) da cui concludiamo che \( \mathbb{H} \) è Euclideo.
5) Se \( N(x) = 1 \) allora abbiamo due casi possibili. \( a=b=c=d=1 \) oppure uno di questi è uguale a \(2\) e gli altri sono uguali a \(0\).
Se \( a=2 \) allora \( x^{-1} = \frac{1}{2} \) è un inverso.
Se \( b = 2 \) allora \( x^{-1} = - \frac{1}{2}i \) è un inverso (similmente per gli altri sostituendo \(j\) o \(k\) con \(i\).
Se sono tutti uguali ad \(1\) invece mi sa che ho fatto qualche errore di calcolo. Perché
\[ (1+i+j+k)(x+yi+zj+wk) = (x-y-z-w) + i(y+x+w-z) +j(z-w+x+y) +k(w+z-y+x) = 1 \]
allora ottengo che \( x= 1/4 \), \( y=z=w = -1/4 \). Ma questo numero non sta dentro \( \mathbb{H} \). Quindi \( 1+i+j+k \in \mathbb{H} \) tale che \( N(1+i+j+k) = 1 \) ma \( 1+i+j+k \not\in \mathbb{H}^{\times} \).
"3m0o":
Se sono tutti uguali ad \( 1 \) invece mi sa che ho fatto qualche errore di calcolo. Perché
\[ (1+i+j+k)(x+yi+zj+wk) = (x-y-z-w) + i(y+x+w-z) +j(z-w+x+y) +k(w+z-y+x) = 1 \]
allora ottengo che \( x= 1/4 \), \( y=z=w = -1/4 \). Ma questo numero non sta dentro \( \mathbb{H} \). Quindi \( 1+i+j+k \in \mathbb{H} \) tale che \( N(1+i+j+k) = 1 \) ma \( 1+i+j+k \not\in \mathbb{H}^{\times} \).
Sì, ho dimenticato un fattore 2 infatti \( x-y-z-w = 2 \) e non \( x-y-z-w=1 \). Apposto.
Per l'altra direzione invece, supponiamo che \( x \in \mathbb{H}^{\times} \), allora \(N(1)=N( x x^{-1} ) = N(x) N(x^{-1}) = 1 \) da cui \(N(x) = 1 \) siccome \( N(x) \in \mathbb{N} \).
6) Sia \( \pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \) la mappa quoziente.
Allora
\[ \varphi : \mathbb{H} \to \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \]
definita
\[ \frac{1}{2}(a+bi+cj+dk) \mapsto (\pi(a) + \pi(b)i+\pi(c)j + \pi(d)k ) \]
è una suriezione e abbiamo che il \( \ker \varphi = p \mathbb{H} \), da cui
\[ \mathbb{H} / p \mathbb{H} \cong \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \]
Inoltre siccome \( \mathbb{H} \) è Euclideo in particolare è un PID, dunque \( p \mathbb{H} \) essendo un ideale di \( \mathbb{H} \) abbiamo che è generato da un elemento \(h\), ma non è massimale poiché \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \) non è un campo. Dunque un elemento di \( p \mathbb{H} \) avrà norma un multiplo di \(p \), siccome \( \mathbb{H} \) è Euclideo possiamo applicare ripetutamente la divisione euclidea per ottenere, eventualmente, un elemento che ha norma un multiplo di \(p\), i.e norma uguale a \(np \), con \( (n,p)=1 \) da cui per multiplicatività della norma e per Euclidianità di \( \mathbb{H} \) otteniamo un elemento che è di norma \(p\). Questo elemento direi che è il generatore di \( p \mathbb{H} \) (ma non sono sicuro)
7) Siccome esiste per il punto precedente \(x \in \mathbb{H} \) tale che \( N(x) = p \) allora \( p = \frac{1}{4} (a^2+b^2+c^2+d^2 ) \) pertanto \( (a^2+b^2+c^2+d^2 )= 4p \).
Inoltre poiché
\[\frac{4p}{2}=2p= \frac{1}{2} \left( a^2+b^2+c^2 + d^2 \right) = \left( \left( \frac{a+b}{2}\right)^2 + \left( \frac{a-b}{2}\right)^2 + \left( \frac{c+d}{2}\right)^2 + \left( \frac{c-d}{2}\right)^2 \right) \]
e poiché \( a \equiv b \equiv c \equiv d \mod 2 \) allora
\[ x:= \left( \frac{a+b}{2}\right) + \left( \frac{a-b}{2}\right)i + \left( \frac{c+d}{2}\right)j + \left( \frac{c-d}{2}\right)k \in \mathbb{H} \]
In particolare tutti i "coefficienti" sono interi, da cui il risultato.
8) Per questo non sono sicuro...
Abbiamo che siccome \( p \mathbb{H} \) non è massimale allora non è primo, poiché \( \mathbb{H} \) è un PID. Dunque siccome il generatore di \( p \mathbb{H} \) è di norma \(p \) (credo), abbiamo che \( (x)=(y)(z) \), dove \(y, z \) non sono delle unità. Allora
\[ p= N(x)= N(y)N(z) \]
siccome in \( \mathbb{N} \), \(p\) non ha divisori propri per forza di cose \( N(y) = 4 \), da cui
\[ p = 4 \cdot \frac{1}{4} \left( a^2+b^2+c^2+d^2 \right) \]
dove \( z = \frac{1}{2} \left( a +b i + c j + d k \right) \). Da cui \( p = a^2+b^2+c^2+d^2 \).
Inoltre per concludere che ogni intero è somma di 4 quadrati immagino devo usare Euclide in \( \mathbb{H} \) ma non vedo troppo come. Suggerimenti?
Allora
\[ \varphi : \mathbb{H} \to \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \]
definita
\[ \frac{1}{2}(a+bi+cj+dk) \mapsto (\pi(a) + \pi(b)i+\pi(c)j + \pi(d)k ) \]
è una suriezione e abbiamo che il \( \ker \varphi = p \mathbb{H} \), da cui
\[ \mathbb{H} / p \mathbb{H} \cong \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \]
Inoltre siccome \( \mathbb{H} \) è Euclideo in particolare è un PID, dunque \( p \mathbb{H} \) essendo un ideale di \( \mathbb{H} \) abbiamo che è generato da un elemento \(h\), ma non è massimale poiché \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}_p} \) non è un campo. Dunque un elemento di \( p \mathbb{H} \) avrà norma un multiplo di \(p \), siccome \( \mathbb{H} \) è Euclideo possiamo applicare ripetutamente la divisione euclidea per ottenere, eventualmente, un elemento che ha norma un multiplo di \(p\), i.e norma uguale a \(np \), con \( (n,p)=1 \) da cui per multiplicatività della norma e per Euclidianità di \( \mathbb{H} \) otteniamo un elemento che è di norma \(p\). Questo elemento direi che è il generatore di \( p \mathbb{H} \) (ma non sono sicuro)
7) Siccome esiste per il punto precedente \(x \in \mathbb{H} \) tale che \( N(x) = p \) allora \( p = \frac{1}{4} (a^2+b^2+c^2+d^2 ) \) pertanto \( (a^2+b^2+c^2+d^2 )= 4p \).
Inoltre poiché
\[\frac{4p}{2}=2p= \frac{1}{2} \left( a^2+b^2+c^2 + d^2 \right) = \left( \left( \frac{a+b}{2}\right)^2 + \left( \frac{a-b}{2}\right)^2 + \left( \frac{c+d}{2}\right)^2 + \left( \frac{c-d}{2}\right)^2 \right) \]
e poiché \( a \equiv b \equiv c \equiv d \mod 2 \) allora
\[ x:= \left( \frac{a+b}{2}\right) + \left( \frac{a-b}{2}\right)i + \left( \frac{c+d}{2}\right)j + \left( \frac{c-d}{2}\right)k \in \mathbb{H} \]
In particolare tutti i "coefficienti" sono interi, da cui il risultato.
8) Per questo non sono sicuro...
Abbiamo che siccome \( p \mathbb{H} \) non è massimale allora non è primo, poiché \( \mathbb{H} \) è un PID. Dunque siccome il generatore di \( p \mathbb{H} \) è di norma \(p \) (credo), abbiamo che \( (x)=(y)(z) \), dove \(y, z \) non sono delle unità. Allora
\[ p= N(x)= N(y)N(z) \]
siccome in \( \mathbb{N} \), \(p\) non ha divisori propri per forza di cose \( N(y) = 4 \), da cui
\[ p = 4 \cdot \frac{1}{4} \left( a^2+b^2+c^2+d^2 \right) \]
dove \( z = \frac{1}{2} \left( a +b i + c j + d k \right) \). Da cui \( p = a^2+b^2+c^2+d^2 \).
Inoltre per concludere che ogni intero è somma di 4 quadrati immagino devo usare Euclide in \( \mathbb{H} \) ma non vedo troppo come. Suggerimenti?
Nope.
6)
Per dimostrare che esiste \(x \) tale che \( N(x) = p \) siccome \(p \mathbb{H} = (p) \) non è un ideale primo abbiamo che \( p \mathbb{H} = (x)(y) \) con \(x,y \) non unità.
Dunque \( p^2 = N(p)= N(x) N(y) \). Da cui l'esistenza di un \(x\) tale che \( N(x) = p \). Immagino inoltre che \( y= \overline{x} \).
Quindi 8) anche è sbagliato. In particolare la \(z \) che ho preso non appartiene nemmeno ad \( \mathbb{H} \) siccome non è di norma intera.
6)
Per dimostrare che esiste \(x \) tale che \( N(x) = p \) siccome \(p \mathbb{H} = (p) \) non è un ideale primo abbiamo che \( p \mathbb{H} = (x)(y) \) con \(x,y \) non unità.
Dunque \( p^2 = N(p)= N(x) N(y) \). Da cui l'esistenza di un \(x\) tale che \( N(x) = p \). Immagino inoltre che \( y= \overline{x} \).
Quindi 8) anche è sbagliato. In particolare la \(z \) che ho preso non appartiene nemmeno ad \( \mathbb{H} \) siccome non è di norma intera.
Per 8)
Claim: Sia \( \mathfrak{p}=(p) \) un ideale qualunque di \( \mathbb{H} \), allora \( \left| \mathbb{H} / \mathfrak{p} \right| = N(p)^2 \). Dove \(p=a+bi+cj+dk \).
Dimostrazione claim:
Abbiamo che l'anello di Hurtwiz è un \( \mathbb{Z} \)-modulo con base \( \{ 1,i,j, \frac{1}{2}(1+i+j+k) \} \). Chiamo con \(u:= \frac{1}{2}( 1+i+j+k) \) dunque abbiamo che \[ \mathfrak{p} = p \mathbb{H} = \left( \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk) \right) \mathbb{H}
\]
\[= \left( \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk) \right) \left( \mathbb{Z} + \mathbb{Z} i + \mathbb{Z} j + \frac{1}{2}(1+i+j+k) \mathbb{Z} \right) \]
\[= \left( \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk) \right) \mathbb{Z} + \left( \frac{1}{2} (ai-b-ck+dj) \right) \mathbb{Z} \mathbb{Z} + \left( \frac{1}{2} (aj+bk-c-di) \right) \mathbb{Z} + \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk)u \mathbb{Z} \]
Abbiamo che \( \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk) , \left( \frac{1}{2} (ai-b+cji+dki) \right), \left( \frac{1}{2} (a+bij-c+dkj) \right) , \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk)u \) sono \( \mathbb{Q} \)-linearmente indipendenti.
Ora siccome \( \mathbb{H} \cong \mathbb{Z}^4 \) mappando le basi \( (1,i,j,u) \mapsto ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) ) \). Dunque \( \mathfrak{p} \) è un \( \mathbb{Z}\)-modulo che è isomorfo a
\[ \mathfrak{p} \cong \frac{1}{2}(a,b,c,d) \mathbb{Z} + \frac{1}{2}(-b,a,d,-c) \mathbb{Z} + \frac{1}{2}(-c,-d,a,b) \mathbb{Z} + \frac{1}{2}(a-b-c-d,a+b+c-d,a-b+c+d,a+b-c+d)\mathbb{Z} \]
Chiamo per semplicità, \( \mathbf{a}= \frac{1}{2}(a,b,c,d) \), \( \mathbf{b} = \frac{1}{2}(-b,a,d,-c) \), \( \mathbf{c} = \frac{1}{2}(-c,-d,a,b)\), e \( \mathbf{d} = \frac{1}{2}(a-b-c-d,a+b+c-d,a-b+c+d,a+b-c+d) \). Dunque abbiamo che
\[ \mathbb{H}/\mathfrak{p} \cong \mathbb{Z}^4/\left( \mathbf{a} \mathbb{Z} + \mathbf{b} \mathbb{Z} + \mathbf{c} \mathbb{Z} + \mathbf{d} \mathbb{Z} \right) \]
da cui
\[\left| \mathbb{H}/\mathfrak{p} \right| = \frac{1}{16} \left| \det \begin{pmatrix}
a& -b& -c & a-b-c-d\\
b& a& -d& a+b+c-d\\
c& d& a& a-b+c+d \\
d& -c& b& a+b-c+d
\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{4^2}(a^2+b^2+c^2+d^2)^2= N(p)^2\]
Veniamo al problema vero e proprio:
Supponiamo senza perdita di generalità che \( p \neq 2 \), poiché \( 2 = 1^2+1^2 +0^2 +0^2 \)
Sia dunque \( \mathfrak{p} = (x) \) primo, dove \( p \mathbb{H} = (x)(y) \), allora \( \mathbb{H}/\mathfrak{p} \) è un campo, poiché è massimale e \( \mathbb{H} \) è un PID, abbiamo allora che esiste una suriezione
\[ h \mod p\mathbb{H} \in \mathbb{H}/p\mathbb{H} \twoheadrightarrow \mathbb{H}/\mathfrak{p} \ni h \mod \mathfrak{p} \]
Ora abbiamo che
\[ \left| \mathbb{H}/p\mathbb{H} \right| = N(p)^2 = p^4 \]
\[ \left| \mathbb{H}/\mathfrak{p} \right| = N(x)^2 = \frac{1}{16} \left(a^2+b^2+c^2+d^2 \right)^2 \]
allora siccome esiste una suriezione abbiamo che la cardinalità di \( \left| \mathbb{H}/\mathfrak{p} \right| \) divide la cardinalità di \( \left| \mathbb{H}/p\mathbb{H} \right| \). Pertanto \( (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \mid p^4 \) siccome \( 16 \not\mid p^4 \) poiché \( p^4 \) è dispari. Allora \( (a^2+b^2+c^2+d^2) \mid p^2 \).
Abbiamo dunque due possibilità:
1) \( (a^2+b^2+c^2+d^2) = p^2 \)
2) \( (a^2+b^2+c^2+d^2) = p \)
Nel primo caso abbiamo allora che \( \mathbb{H}/\mathfrak{p} \) è un campo di cardinalità \(p^4 \), dunque è isomorfo a \( \mathbb{H}/p\mathbb{H} \), ma quest'ultimo non è nemmeno un corpo, quindi tanto meno sarà un campo.
Abbiamo dunque che \( (a^2+b^2+c^2+d^2) = p \).
Claim: Sia \( \mathfrak{p}=(p) \) un ideale qualunque di \( \mathbb{H} \), allora \( \left| \mathbb{H} / \mathfrak{p} \right| = N(p)^2 \). Dove \(p=a+bi+cj+dk \).
Dimostrazione claim:
Abbiamo che l'anello di Hurtwiz è un \( \mathbb{Z} \)-modulo con base \( \{ 1,i,j, \frac{1}{2}(1+i+j+k) \} \). Chiamo con \(u:= \frac{1}{2}( 1+i+j+k) \) dunque abbiamo che \[ \mathfrak{p} = p \mathbb{H} = \left( \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk) \right) \mathbb{H}
\]
\[= \left( \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk) \right) \left( \mathbb{Z} + \mathbb{Z} i + \mathbb{Z} j + \frac{1}{2}(1+i+j+k) \mathbb{Z} \right) \]
\[= \left( \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk) \right) \mathbb{Z} + \left( \frac{1}{2} (ai-b-ck+dj) \right) \mathbb{Z} \mathbb{Z} + \left( \frac{1}{2} (aj+bk-c-di) \right) \mathbb{Z} + \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk)u \mathbb{Z} \]
Abbiamo che \( \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk) , \left( \frac{1}{2} (ai-b+cji+dki) \right), \left( \frac{1}{2} (a+bij-c+dkj) \right) , \frac{1}{2} (a+bi+cj+dk)u \) sono \( \mathbb{Q} \)-linearmente indipendenti.
Ora siccome \( \mathbb{H} \cong \mathbb{Z}^4 \) mappando le basi \( (1,i,j,u) \mapsto ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) ) \). Dunque \( \mathfrak{p} \) è un \( \mathbb{Z}\)-modulo che è isomorfo a
\[ \mathfrak{p} \cong \frac{1}{2}(a,b,c,d) \mathbb{Z} + \frac{1}{2}(-b,a,d,-c) \mathbb{Z} + \frac{1}{2}(-c,-d,a,b) \mathbb{Z} + \frac{1}{2}(a-b-c-d,a+b+c-d,a-b+c+d,a+b-c+d)\mathbb{Z} \]
Chiamo per semplicità, \( \mathbf{a}= \frac{1}{2}(a,b,c,d) \), \( \mathbf{b} = \frac{1}{2}(-b,a,d,-c) \), \( \mathbf{c} = \frac{1}{2}(-c,-d,a,b)\), e \( \mathbf{d} = \frac{1}{2}(a-b-c-d,a+b+c-d,a-b+c+d,a+b-c+d) \). Dunque abbiamo che
\[ \mathbb{H}/\mathfrak{p} \cong \mathbb{Z}^4/\left( \mathbf{a} \mathbb{Z} + \mathbf{b} \mathbb{Z} + \mathbf{c} \mathbb{Z} + \mathbf{d} \mathbb{Z} \right) \]
da cui
\[\left| \mathbb{H}/\mathfrak{p} \right| = \frac{1}{16} \left| \det \begin{pmatrix}
a& -b& -c & a-b-c-d\\
b& a& -d& a+b+c-d\\
c& d& a& a-b+c+d \\
d& -c& b& a+b-c+d
\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{4^2}(a^2+b^2+c^2+d^2)^2= N(p)^2\]
Veniamo al problema vero e proprio:
Supponiamo senza perdita di generalità che \( p \neq 2 \), poiché \( 2 = 1^2+1^2 +0^2 +0^2 \)
Sia dunque \( \mathfrak{p} = (x) \) primo, dove \( p \mathbb{H} = (x)(y) \), allora \( \mathbb{H}/\mathfrak{p} \) è un campo, poiché è massimale e \( \mathbb{H} \) è un PID, abbiamo allora che esiste una suriezione
\[ h \mod p\mathbb{H} \in \mathbb{H}/p\mathbb{H} \twoheadrightarrow \mathbb{H}/\mathfrak{p} \ni h \mod \mathfrak{p} \]
Ora abbiamo che
\[ \left| \mathbb{H}/p\mathbb{H} \right| = N(p)^2 = p^4 \]
\[ \left| \mathbb{H}/\mathfrak{p} \right| = N(x)^2 = \frac{1}{16} \left(a^2+b^2+c^2+d^2 \right)^2 \]
allora siccome esiste una suriezione abbiamo che la cardinalità di \( \left| \mathbb{H}/\mathfrak{p} \right| \) divide la cardinalità di \( \left| \mathbb{H}/p\mathbb{H} \right| \). Pertanto \( (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \mid p^4 \) siccome \( 16 \not\mid p^4 \) poiché \( p^4 \) è dispari. Allora \( (a^2+b^2+c^2+d^2) \mid p^2 \).
Abbiamo dunque due possibilità:
1) \( (a^2+b^2+c^2+d^2) = p^2 \)
2) \( (a^2+b^2+c^2+d^2) = p \)
Nel primo caso abbiamo allora che \( \mathbb{H}/\mathfrak{p} \) è un campo di cardinalità \(p^4 \), dunque è isomorfo a \( \mathbb{H}/p\mathbb{H} \), ma quest'ultimo non è nemmeno un corpo, quindi tanto meno sarà un campo.
Abbiamo dunque che \( (a^2+b^2+c^2+d^2) = p \).
Che palle... 
ho RI-dimostrato che \( 4p = a^2+b^2+c^2+d^2 \)....
ho RI-dimostrato che \( 4p = a^2+b^2+c^2+d^2 \)....
Molto più semplice
Siccome \( p \neq 2 \) non è un primo di Hurwitz allora esistono due non unità \( x , y \) tale che \(p=xy \). Da cui se \( x= \frac{1}{2} ( a+bi+cj+dk) \) con \( a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 0 \mod 2 \) abbiamo terminato poiché \(x \) ha coefficienti interi e dunque \( \frac{a}{2} , \ldots \) sono interi
\[ N(p)=p^2 = N(x)N(y) \]
e concludiamo che \( N(x) = p \) con con \( N(x) = \frac{1}{4} (a^2+b^2+c^2+d^2) \).
Se invece dovesse capitare che \( x = \frac{1}{2} ( a+bi+cj+dk) \) con \( a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 1 \mod 2 \) allora basta prendere l'unità \( u = \frac{\pm 1\pm i \pm j \pm k}{2} \) - che ha norma \( N(u)=1\) - in modo tale che \( z \), definito qui sotto, abbia coefficienti pari
\[z:= u+x = \frac{1}{2} \left( (a \pm 1) + (b\pm 1)i+(c\pm 1)j+(d\pm 1)k \right) \]
i.e \( (a \pm 1)/2 \equiv (b \pm 1)/2 \equiv (c \pm 1)/2 \equiv (d \pm 1) \equiv 0 \mod 2 \)
Ora siccome \(u \in \mathbb{H}^{\times} \) abbiamo che \( N(u) = 1 \) da cui
\[ p=N(x)N(u) = x \overline{x} u \overline{u} = (z-u)(\overline{z}- \overline{u})) u \overline{u} = (\overline{z}u-1)(z \overline{u} - 1) \]
Riscriviamo dunque \( z = 2 \alpha + 2 \beta i + 2 \gamma j + 2 \kappa k \) abbiamo che \( \overline{z} u - 1 \) ha coefficienti interi, e dunque
\[ N(p) = p^2 = N((\overline{z}u-1))N((z \overline{u} - 1)) \]
da cui deduciamo che \( N((\overline{z}u-1))= p \).
Proviamo ora che dati due numeri \(p_1, p_2 \) che sono somma di quattro quadrati allora anche \(p_1p_2\) è somma di quattro quadrati. E questo dimostra che ogni numeri intero è somma di quattro quadrati, perché ogni numeri primo lo è.
Siano \( x \) e \(y \) due quaternioni di Hurwitz a coefficienti interi tale che
\[ N(x) = x \overline{x} = p_1 \]
e
\[ N(y) = y \overline{y} = p_2 \]
allora
\[x \overline{x} y \overline{y} = x y \overline{y} \overline{x} = xy \overline{(xy)} = N(xy)\]
dove la commutatività di \( y \overline{y} \) con \( \overline{x} \) arriva dal fatto che \( y \overline{y} \) è un intero, inoltre poiché abbiamo supposto \( x\) e \( y \) con coefficienti interi allora anche \(xy \) avrà coefficienti interi. Da cui il risultato.
Siccome \( p \neq 2 \) non è un primo di Hurwitz allora esistono due non unità \( x , y \) tale che \(p=xy \). Da cui se \( x= \frac{1}{2} ( a+bi+cj+dk) \) con \( a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 0 \mod 2 \) abbiamo terminato poiché \(x \) ha coefficienti interi e dunque \( \frac{a}{2} , \ldots \) sono interi
\[ N(p)=p^2 = N(x)N(y) \]
e concludiamo che \( N(x) = p \) con con \( N(x) = \frac{1}{4} (a^2+b^2+c^2+d^2) \).
Se invece dovesse capitare che \( x = \frac{1}{2} ( a+bi+cj+dk) \) con \( a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 1 \mod 2 \) allora basta prendere l'unità \( u = \frac{\pm 1\pm i \pm j \pm k}{2} \) - che ha norma \( N(u)=1\) - in modo tale che \( z \), definito qui sotto, abbia coefficienti pari
\[z:= u+x = \frac{1}{2} \left( (a \pm 1) + (b\pm 1)i+(c\pm 1)j+(d\pm 1)k \right) \]
i.e \( (a \pm 1)/2 \equiv (b \pm 1)/2 \equiv (c \pm 1)/2 \equiv (d \pm 1) \equiv 0 \mod 2 \)
Ora siccome \(u \in \mathbb{H}^{\times} \) abbiamo che \( N(u) = 1 \) da cui
\[ p=N(x)N(u) = x \overline{x} u \overline{u} = (z-u)(\overline{z}- \overline{u})) u \overline{u} = (\overline{z}u-1)(z \overline{u} - 1) \]
Riscriviamo dunque \( z = 2 \alpha + 2 \beta i + 2 \gamma j + 2 \kappa k \) abbiamo che \( \overline{z} u - 1 \) ha coefficienti interi, e dunque
\[ N(p) = p^2 = N((\overline{z}u-1))N((z \overline{u} - 1)) \]
da cui deduciamo che \( N((\overline{z}u-1))= p \).
Proviamo ora che dati due numeri \(p_1, p_2 \) che sono somma di quattro quadrati allora anche \(p_1p_2\) è somma di quattro quadrati. E questo dimostra che ogni numeri intero è somma di quattro quadrati, perché ogni numeri primo lo è.
Siano \( x \) e \(y \) due quaternioni di Hurwitz a coefficienti interi tale che
\[ N(x) = x \overline{x} = p_1 \]
e
\[ N(y) = y \overline{y} = p_2 \]
allora
\[x \overline{x} y \overline{y} = x y \overline{y} \overline{x} = xy \overline{(xy)} = N(xy)\]
dove la commutatività di \( y \overline{y} \) con \( \overline{x} \) arriva dal fatto che \( y \overline{y} \) è un intero, inoltre poiché abbiamo supposto \( x\) e \( y \) con coefficienti interi allora anche \(xy \) avrà coefficienti interi. Da cui il risultato.
"3m0o":
4)
Abbiamo che per \(x,y \in \mathbb{H} \) allora \( \frac{x}{y} \in mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) siccome \( \mathbb{H}_{\mathbb{Q}} \) è un corpo. Inoltre \( N \left( \frac{x}{y} \right) \in \mathbb{Q} \) e possiamo supporre senza perdita di generalità che \( ( N(x), N(y) )=1 \). Sia \(y \in \mathbb{H} \) tale che \( N(x) < N(y) \). Dunque esiste \( z \in \mathbb{H} \) tale che risulta che
\[ N(\frac{x}{y} - z) \leq \frac{1}{2} < 1 \]
infatti \( \frac{x}{y} \) sarà contenuto in un \(4\)-cubo di lato 1. Quindi esisterà un vertice intero che disterà da \( \frac{x}{y} \) che disterà meno di \( 1/4 \) della diagonale maggiore che vale \( \sqrt{4} \).
Pertanto
\[ N(x-yz) \leq \frac{N(y)}{2} < N(y) \]
Ponendo dunque \( w := x-yz \) abbiamo che \( N(w) < N(y) \) da cui concludiamo che \( \mathbb{H} \) è Euclideo.
Avendo dei dubbi su questa ho cercato in rete una dimostrazione e ho trovato questa:
Per \( x= x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k \) scegliamo prima \( y_0 \) in modo tale che \( \left| x_0 - y_0 \right| \leq 1/4 \), la scelta di \(y_0 \) determina la parità degli altri. Poi scegliamo \( y_r \) in modo tale che \( \left| x_r - y_r \right| \leq 1/2 \) e abbiamo che
\[ N(x-y) \leq 13/16 < 1 \]
Io però ho un dubbio. Come è mai possibile sceglie un \(y_0 \) che verifica \( \left| x_0 - y_0 \right| \leq 1/4 \)??
Cioè se \(x_0 \) e \(y_0 \) sono entrambi interi (o entrambi "mezzi" interi) allora la distanza non può essere minore di \(1\) a meno che non siano uguali. Ma se sono uguali allora gli altri avendo la stessa parità non è possibile trovarli in modo tale che la distanza sia minore di \(1\). Se \(x_0 \) è mezzo intero e \(y_0\) è intero (o viceversa) allora la distanza minimale è \(1/2\)... non capisco.
"gugo82":
Forse basta ragionare come coi complessi, mostrando che $q^(-1)$ si può calcolare razionalizzando, ossia con un'uguaglianza tipo $q^(-1) = (bar(q))/(N(q))$... Prova, ma può essere che mi sbagli.
Sai che mi era sfuggito. Non so se per mostrare 1) si possa fare, ma sicuramente rende immediato 5).
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