Quantità di numeri primi tra un naturale ed il suo triplo
Ciao, se $n$ è un numero naturale, a partire da quale $n $ si può affermare che esistono almeno tre numeri primi nell'intervallo $(n,3n) $.
Usando il teorema di Erdos, che dice che esistono sempre due numeri primi $p$ e $q$ con $n < p, q < 2n$ per ogni $n > 6$, se sapessi a partire da quale $n$ è dimostrato che esistè almeno un numero primo tra $ n $ è $ n+n/2$, integrando i due teoremi risolvere il quesito, almeno penso.
Ad esempio, se $100$ fosse il numero a partire da cui si ha che esistè almeno un primo in $(100, 150) $ allora potrei affermare, penso, che esistono almeno tre numeri primi tra $(100, 300)$.
Infatti, due si trovano tra $(100, 200) $ per Erdos, ed uno si trova tra $(200, 300) $, per il teorema relativo alla presenza di almeno un numero primo tra $ n $ è $ n+n/2$.
Quindi, a partire da quale $n $ si può affermare che esistono almeno tre numeri primi nell'intervallo $(n,3n) $ ??
Usando il teorema di Erdos, che dice che esistono sempre due numeri primi $p$ e $q$ con $n < p, q < 2n$ per ogni $n > 6$, se sapessi a partire da quale $n$ è dimostrato che esistè almeno un numero primo tra $ n $ è $ n+n/2$, integrando i due teoremi risolvere il quesito, almeno penso.
Ad esempio, se $100$ fosse il numero a partire da cui si ha che esistè almeno un primo in $(100, 150) $ allora potrei affermare, penso, che esistono almeno tre numeri primi tra $(100, 300)$.
Infatti, due si trovano tra $(100, 200) $ per Erdos, ed uno si trova tra $(200, 300) $, per il teorema relativo alla presenza di almeno un numero primo tra $ n $ è $ n+n/2$.
Quindi, a partire da quale $n $ si può affermare che esistono almeno tre numeri primi nell'intervallo $(n,3n) $ ??
Risposte
Ciao!
Queste questioni si risolvono usando il teorema dei numeri primi, che dice che [tex]\pi(x)[/tex], cioè il numero di numeri primi compresi tra [tex]1[/tex] e [tex]x[/tex], è asintotico a [tex]x/\log x[/tex], dove [tex]\log[/tex] indica il logaritmo naturale.
Più precisamente, usando le sue istanze quantitative. Come vedi da qui, se [tex]x \geq 55[/tex] allora [tex]\frac{x}{\log x +2} < \pi(x) < \frac{x}{\log x-4}[/tex] dove [tex]\log[/tex] indica il logaritmo naturale.
Tra [tex]x[/tex] e [tex]3x[/tex] (estremi esclusi) ci sono esattamente [tex]\pi(3x)-\pi(x)[/tex] numeri primi, e se [tex]x \geq 55[/tex] allora [tex]\pi(3x)-\pi(x) > \frac{3x}{\log 3x+2} - \frac{x}{\log x-4}[/tex]. Quindi si tratta di trovare gli [tex]x \geq 55[/tex] che verificano [tex]\frac{3x}{\log 3x+2} - \frac{x}{\log x-4} \geq 3[/tex] (saranno del tipo [tex]x \geq c[/tex], cioè tutti quelli più grandi di un certo numero [tex]c[/tex]) e poi trattare gli altri [tex]x[/tex] a mano.
Queste questioni si risolvono usando il teorema dei numeri primi, che dice che [tex]\pi(x)[/tex], cioè il numero di numeri primi compresi tra [tex]1[/tex] e [tex]x[/tex], è asintotico a [tex]x/\log x[/tex], dove [tex]\log[/tex] indica il logaritmo naturale.
Più precisamente, usando le sue istanze quantitative. Come vedi da qui, se [tex]x \geq 55[/tex] allora [tex]\frac{x}{\log x +2} < \pi(x) < \frac{x}{\log x-4}[/tex] dove [tex]\log[/tex] indica il logaritmo naturale.
Tra [tex]x[/tex] e [tex]3x[/tex] (estremi esclusi) ci sono esattamente [tex]\pi(3x)-\pi(x)[/tex] numeri primi, e se [tex]x \geq 55[/tex] allora [tex]\pi(3x)-\pi(x) > \frac{3x}{\log 3x+2} - \frac{x}{\log x-4}[/tex]. Quindi si tratta di trovare gli [tex]x \geq 55[/tex] che verificano [tex]\frac{3x}{\log 3x+2} - \frac{x}{\log x-4} \geq 3[/tex] (saranno del tipo [tex]x \geq c[/tex], cioè tutti quelli più grandi di un certo numero [tex]c[/tex]) e poi trattare gli altri [tex]x[/tex] a mano.
Grazie Martino 
. Mi piace molto la spiegazione 
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. Mi piace molto la spiegazione .
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