Quantificatori

[qxtr01]

Quando si usa il quantificatore universale nel modo $\forall P(x)[Q(x)]$ si intende $\forall x[P(x)\wedge Q(x)]$ o $\forall x[P(x)\rightarrow Q(x)]$? E quando si usa il quantificatore esistenziale? Grazie.

[Megan00b]

"qxtr01":Quando si usa il quantificatore universale nel modo $\forall P(x)[Q(x)]$ si intende $\forall x[P(x)\wedge Q(x)]$ o $\forall x[P(x)\rightarrow Q(x)]$? E quando si usa il quantificatore esistenziale? Grazie.

Secondo me questa frase $\forall P(x)[Q(x)]$ intesa come enunciato ha senso solo se puoi scrivere $Q(x)=Q(P(x))$. In parole povere se P è una sottofrase di Q. Lo dico perché altrimenti non ci si troverebbe con la variabile x che non potrebbe essere né libera né quantificata.
Se invece si tratta di una formula più in generale bisognerebbe vedere il contesto. Tuttavia non ho mai visto in logica l'uso della parentesi quadra e questa potrebbe voler significare qualcosa che non conosco.

[Megan00b]

In effetti, rispondendo ad un'altra domanda, ci ho ripensato. Forse il significato dipende anche da chi é P.
Ad esempio nell'altra domanda ho scritto:
$a sube b iff AAx in a\ (x in b)$. Qui si potrebbe considerare $P(x)=x in a$, $Q(x)=x in B$ e dunque in questo caso la parentesi sottintende una freccia di implicazione, cioè $AAx (x in a to x in b)$. Questo però funziona se P è una formula atomica. Non so se sia lecito per qualunque P.

[Leonardo891]

"Megan00b":$a sube b iff AAx in a\ (x in b)$. Qui si potrebbe considerare $P(x)=x in a$, $Q(x)=x in B$ e dunque in questo caso la parentesi sottintende una freccia di implicazione, cioè $AAx (x in a to x in b)$. Questo però funziona se P è una formula atomica. Non so se sia lecito per qualunque P.

Sull'Acerbi-Buttazzo, "Primo corso di analisi matematica", il significato è proprio questo, confermo. Piuttosto, cosa intendi con formula atomica?

[qxtr01]

Ho appena letto su un libro che $\exists P(x)[Q(x)]$ è un'abbreviazione di $\exists x[P(x)\wedge Q(x)]$ mentre $\forall P(x)[Q(x)]$ è un'abbreviazione di $\forall x[P(x)\rightarrow Q(x)]$.

[Megan00b]

Che libro é?

[qxtr01]

a dire il vero ho letto la medesima definizione su ben tre libri (non sono libri di logica ma di teoria degli insiemi):
- set theory for the working mathematician - k. ciesielski
- the joy of sets - k. devlin
- discovering modern set theory: the basics - w. just, m. weese