Quando un sottogruppo di un gruppo è abeliano?

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
scusatemi se la domanda è un pò stupida, ma volevo sapere quando un sottogruppo di un gruppo è abeliano?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve Jason.Bourne,

"Jason.Bourne":Questo sottogruppo è ciclico? Ogni gruppo ciclico è anche abeliano, ne segue che se un gruppo non è abeliano allora non è nemmeno ciclico. Questo non implica però l'opposto.

potresti scrivermi la definizione con tanto di formule e così via...!!

Grazie!!

Cordiali saluti

[gugo82]

@ Jason.Bourne: Occhio alle definizioni, per favore...

[j18eos]

"garnak.olegovitc":...quando un sottogruppo di un gruppo è abeliano?...

Siano \(G\) un gruppo ed \(H\) un suo sottogruppo, \(H\) è abeliano se e solo se (per definizione) esso coincide col suo centro \(Z(H)\).

Più semplice di così si muore!

[size=50]Mi ha incuriosito l'intervento di gugo...[/size]

[garnak.olegovitc1]

Salve j18eos,

"j18eos":Siano \(G\) un gruppo ed \(H\) un suo sottogruppo, \(H\) è abeliano se e solo se (per definizione) esso coincide col suo centro \(Z(H)\).

Più semplice di così si muore!

[size=50]Mi ha incuriosito l'intervento di gugo...[/size]

grazie della risposta... ti chiedo troppo se ti dico di fornirmi la definizione di centro? Ringrazio anticipatamente!!!

Cordiali saluti

[j18eos]

"garnak.olegovitc":... ti chiedo troppo se ti dico di fornirmi la definizione di centro? ...

No, basta che cambi libro di algebra -_- (questa è una definizione di base):
\[
(S;\sharp)\,\text{struttura algebrica, e.g. un gruppo;}\,Z(S)=\{x\in S\mid\forall y\in S,\,x\sharp y=y\sharp x\}
\]
l'ho scritta difficile perché una definizione così banale non può mancare in un testo di algebra di base... Occhio all'ordine in cui ho scritto gli elementi!

[garnak.olegovitc1]

Salve j18eos,

"j18eos":[quote="garnak.olegovitc"]... ti chiedo troppo se ti dico di fornirmi la definizione di centro? ...

No, basta che cambi libro di algebra -_- (questa è una definizione di base):
\[
(S;\sharp)\,\text{struttura algebrica, e.g. un gruppo;}\,Z(S)=\{x\in S\mid\forall y\in S,\,x\sharp y=y\sharp x\}
\]
l'ho scritta difficile perché una definizione così banale non può mancare in un testo di algebra di base... Occhio all'ordine in cui ho scritto gli elementi![/quote]

ahhahaha, capito... quindi \( Z(S) \) è l'insieme degli elementi di \( S \) permutabili in \( S \).. giusto?

Cordiali saluti

[j18eos]

Sì, esatto Garnak; elementi permutabili o centrali sono sinonimi a questo livello base!

[garnak.olegovitc1]

Salve j18eos,

"j18eos":Sì, esatto Garnak; elementi permutabili o centrali sono sinonimi a questo livello base!

ti ringrazio...

"j18eos":Siano \(G\) un gruppo ed \(H\) un suo sottogruppo, \(H\) è abeliano se e solo se (per definizione) esso coincide col suo centro \(Z(H)\).

ma secondo te questa è più da definizione o da proprietà?

Cordiali saluti

[j18eos]

Questa è la definizione di gruppo abeliano!

Seppoi ci vogliamo complicare la vita: conosco almeno altre due definizioni, ma di carattere categoriale

[garnak.olegovitc1]

Salve j18eos,

"j18eos":Questa è la definizione di gruppo abeliano!

Seppoi ci vogliamo complicare la vita: conosco almeno altre due definizioni, ma di carattere categoriale

da tempo mi affascina questa teoria delle categorie...

[j18eos]

Aspetta il tempo giusto: riesci ad appesantire come macigni le piume, figuriamoci un macigno come la teoria delle categorie... saresti capace di appesantirlo a tal punto da renderlo un buco nero (senza offesa)

Sii più soft col formalismo.

[garnak.olegovitc1]

[vict85]

Sinceramente non ho capito cosa vuoi sapere. Per esempio, vale il seguente

Un sottogruppo \(\displaystyle H. Di teoremini di questo tipo se ne possono inventare vari.

[garnak.olegovitc1]

Salve vict85,
tutto chiarito con j18eos....
Cordiali saluti