Quando un ideale di polinomi è radicale?
Ciao a tutti.
Consideriamo l'anello $A$ dei polinomi in $n$ variabili a coefficienti in un campo $K$. So che, data una base di un ideale $I$ di $A$, esiste un algoritmo per decidere se tale ideale è o meno radicale. Non vorrei usare questo tipo di approccio, ma mi interessano piuttosto condizioni sufficienti.
Ad esempio, so che è valida la seguente proprietà: se un ideale di $\mathbb{C[x,y]}$ contiene un polinomio in $x$ libero da quadrati e un polinomio in $y$ libero da quadrati, allora l'ideale è radicale.
NON riesco a dimostrare quest'ultima proprietà: mi potete aiutare? Sono arrivato a capire che o l'ideale è tutto, oppure la varietà dell'ideale è finita, e quindi usando il Nullstellensatz il radicale dell'ideale è un'intersezione di ideali massimali. Sono sulla strada giusta?
Grazie
Consideriamo l'anello $A$ dei polinomi in $n$ variabili a coefficienti in un campo $K$. So che, data una base di un ideale $I$ di $A$, esiste un algoritmo per decidere se tale ideale è o meno radicale. Non vorrei usare questo tipo di approccio, ma mi interessano piuttosto condizioni sufficienti.
Ad esempio, so che è valida la seguente proprietà: se un ideale di $\mathbb{C[x,y]}$ contiene un polinomio in $x$ libero da quadrati e un polinomio in $y$ libero da quadrati, allora l'ideale è radicale.
NON riesco a dimostrare quest'ultima proprietà: mi potete aiutare? Sono arrivato a capire che o l'ideale è tutto, oppure la varietà dell'ideale è finita, e quindi usando il Nullstellensatz il radicale dell'ideale è un'intersezione di ideali massimali. Sono sulla strada giusta?
Grazie
Risposte
Sia $I$ l’ideale di $CC[x,y]$ e siano $f(x),g(y)\in I$ i polinomi liberi di quadrati in $x$ e $y$, rispettivamente.
Abbiamo quindi un morfismo suriettivo di $CC$-algebre
$CC[x,y]$/$(f(x),g(y)) \rightarrow CC[x,y]$/$I$.
Siano $n=\deg\ f$ e $m=\deg\ g$. Allora per il teorema cinese del resto, si ha che
$CC[x,y]$/$(f(x),g(y))\ \ \cong\ \ CC[x]$/$(f(x))\otimes CC[y]$/$(g(y))\ \ \cong\ \ \CC^n\otimes\CC^m=\CC^{nm}$.
L’algebra $CC[x,y]$/$(f(x),g(y))$ e’ quindi isomorfa ad un prodotto di $nm$ copie di $\CC$.
In particolare, non possiede elementi nilpotenti.
Allora la stessa cosa vale per il quoziente $CC[x,y]$/$I$.
In altre parole, l’ideale $I$ e’ radicale.
Abbiamo quindi un morfismo suriettivo di $CC$-algebre
$CC[x,y]$/$(f(x),g(y)) \rightarrow CC[x,y]$/$I$.
Siano $n=\deg\ f$ e $m=\deg\ g$. Allora per il teorema cinese del resto, si ha che
$CC[x,y]$/$(f(x),g(y))\ \ \cong\ \ CC[x]$/$(f(x))\otimes CC[y]$/$(g(y))\ \ \cong\ \ \CC^n\otimes\CC^m=\CC^{nm}$.
L’algebra $CC[x,y]$/$(f(x),g(y))$ e’ quindi isomorfa ad un prodotto di $nm$ copie di $\CC$.
In particolare, non possiede elementi nilpotenti.
Allora la stessa cosa vale per il quoziente $CC[x,y]$/$I$.
In altre parole, l’ideale $I$ e’ radicale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo