Quando un funtore è ben definito?

[FE7]

Nella dimostrazione che un funtore pieno, fedele ed essenzialmente suriettivo $F: A rarr B$ è un'equivalenza tra categorie, si costruisce esplicitamente $G$ dicendo che $ G(B)= C_B $ dove $C_B$ è quell'elemento di $A$ tale che $F(C_B)$ è isomorfo a $B$ (sfruttando il fatto che $F$ è essenzialmente suriettivo).
Sulle frecce il funtore si definisce sfruttando il fatto che $F$ è pieno e fedele.
Ora:
Sulle frecce mi risulta ben definito
Sugli oggetti mi sembra ben definito a meno di isomorfismo.
Un funtore è ben definito se è ben definito solo sulle frecce? C'è qualcosa che mi sfugge ed è ben definito anche sugli oggetti,nel senso che per qualche motivo che non vedo c'è un'unica scelta possibile anche per gli oggetti?
Per ogni scelta diversa di un oggetto $C_B$ ho un funtore diverso ma naturalmente isomorfo?

[j18eos]

"FE":...Un funtore è ben definito se è ben definito solo sulle frecce?...

Mi sembra una domanda nebulosa (o se preferisci fuzzy); mi spiego meglio, un funtore \(\displaystyle F\) da una categoria \(\displaystyle\mathbf{A}\) a una categoria \(\displaystyle\mathbf{B}\) è un dato composto da: una funzione di classi[nota]Uso per semplicità la teoria degli insiemi ZF, così da poter estendere il concetto di funzione di insiemi al concetto di funzione di classi.[/nota] che mappa un oggetto \(\displaystyle X\) di \(\displaystyle\mathbf{A}\) in un oggetto \(\displaystyle F(X)\) di \(\displaystyle\mathbf{B}\), e una funzione di classi tale che:
\[
\forall X,Y\in\mathrm{Ob}(\mathbf{A}),\varphi\in\hom_{\mathbf{A}}(X,Y),\,F(\varphi)\in\hom_{\mathbf{B}}(F(X),F(Y))
\]
che soddisfa delle condizioni.

Tu ti domandi se definito \(\displaystyle F\) su tutti i morfismi degli oggetti di \(\displaystyle\mathbf{A}\) allora \(\displaystyle F\) è un funtore da \(\displaystyle\mathbf{A}\) a \(\displaystyle\mathbf{B}\)?
La risposta dovrebbe essere sì, assunto che \(\displaystyle F\) soddisfi le proprietà dei funtori!

Scelto \(\displaystyle X\in\mathrm{Ob}(\mathbf{A})\), supposto che sia ben definito il morfismo \(\displaystyle F(1_X)\), si ha che \(\displaystyle F(1_X)=1_Y\) con \(\displaystyle Y\in\mathrm{Ob}(\mathbf{B})\) e poni \(\displaystyle Y=F(X)\); scelto un altro oggetto \(\displaystyle Z\) di \(\displaystyle \mathbf{A}\) e un morfismo \(\displaystyle\varphi:X\to Z\), usando la proprietà che \(\displaystyle F(1_Z)=1_{F(Z)}\equiv W\) si dimostra che \(\displaystyle F(\varphi):Y\to W\)!

Se, invece, non imponi che \(\displaystyle F\) soddisfi le proprietà dei funtori sui morfismi: la risposta è no!

[FE7]

Scusami hai ragione avrei dovuto dire che davo per scontato che il funtore così definito soddisfa le proprietà dei funtori.
Il mio problema è che se dico: associo a $B$ l'elemento delle categoria $A$ tale che $F(C_B)$ sia isomorfo a $B$,ponendo quindi $G(B)= C_B$, nessuno mi dice che quell'elemento sia unico! L'unica cosa che so è che sono tutti isomorfi. Mi spiego? Quindi anche facendo nel modo in cui dici, mi sembra che non si risolva il problema.

[Martino]

Ok non è unico ma ne scegli uno qualsiasi per costruire $G$ (in questo modo $G$ risulta definito sugli oggetti) e poi dimostri che $G$ è "l'inverso essenziale" di $F$. Probabilmente dovrai usare che tutte le scelte per $C_B$ sono canonicamente isomorfe.

[FE7]

OK quindi era come pensavo: cioè che è definito a meno di isomorfismi. Scelgo un qualsiasi $C_B$ e sfruttando il fatto che $F$ è pieno e fedele so che tutti i $C_B$ sono isomorfi tra loro, e che ogni funtore $G$ definito scegliendo un certo $C_B$ è naturalmente isomorfo a un altro definito scegliendo un diverso $C_B'$.

[Martino]

Certo, $G$ non è unico. E' questo che ti turbava?

[FE7]

Si mi turbava questo. Avevo paura che fosse unico e io non lo vedessi per qualche motivo.
Grazie mille!