Quando l'orbita dell'elemento neutro di un \( G \)-gruppo è un sottogruppo normale?

[marco2132k]

Sia \( K \) un campo, e sia \( V \) uno spazio vettoriale su \( K \). È noto che il gruppo moltiplicativo \( K^\times \) agisce sul gruppo \( \mathrm{GL}(V) \) degli automorfismi di \( V \) e che il gruppo proiettivo lineare, cioè il gruppo \( \mathbb P\mathrm{GL}(V) \) delle proiettività dello spazio proiettivo \( \mathbb P(V) \) su \( V \), è in biiezione con l'insieme \( \mathrm{GL}(V)/{K^\times} \) delle orbite per l'azione di \( K^\times \).

Mi vien detto che
\[
\frac{\mathrm{GL}(V)}{K^\times} = \frac{\mathrm{GL}(V)}{(K^\times)1_V}
\] dove a RHS c'è il gruppo quoziente di \( \mathrm{GL}(V) \) per il sottogruppo normale \( (K^\times)1_V := \{c1_V : c\in K^\times\} \), e che in realtà
\[
\mathbb P\mathrm{GL}(V) \cong \frac{\mathrm{GL}(V)}{(K^\times)1_V}
\] come gruppi.

Tutto questo è immediato da verificare. Quello che volevo capire è: qual è la costruzione generale, dati un gruppo \( G \) e un'azione di \( G \) su un gruppo \( X \)? Affinché ad esempio \( G1_X \) sia un sottogruppo normale di \( X \) posso chiedere che per l'azione di \( G \) su \( X \) valga
\[
(gx)y = g(xy) = x(gy)
\] per tutti i \( g\in G \) e gli \( x\in X \), ma insomma credo ci siano degli aggettivi giusti da usare per un'azione del genere quindi chiedo a voi.

[megas_archon]

Non so come si chiami, ma in generale, cioè per gruppi totalmente generici, è difficile dire qualcosa; ad esempio, se $X$ è abeliano, stai considerando un $G$-modulo, cioè alla fin fine un modulo sull'anello \(\mathbb Z[G]\).
E quando non lo è, puoi osservare che il tipo di azioni che ottieni è molto limitato: https://math.stackexchange.com/question ... -on-groups quindi in almeno questi due casi ti riduci ad azioni note (lineari, e in effetti tutte di traslazione)