Quali strutture algebriche non sono un gruppo
su consiglio di un saggio, provo ad approfondire l'argomento.
vorrei in particolare sapere , per quali leggi di composizione interna $NN$ e $ZZ$
non possono considerarsi gruppi.
Ho riletto qualcosa, ma se qualcuno può dare più dettagli, ciò sarebbe buono
per rafforzare quanto acquisito.
Grazie!
vorrei in particolare sapere , per quali leggi di composizione interna $NN$ e $ZZ$
non possono considerarsi gruppi.
Ho riletto qualcosa, ma se qualcuno può dare più dettagli, ciò sarebbe buono
per rafforzare quanto acquisito.
Grazie!
Risposte
"salfor76":
su consiglio di un saggio
... esagerato. Grazie, se ti stavi riferendo a me. 
vorrei in particolare sapere , per quali leggi di composizione interna $NN$ e $ZZ$
non possono considerarsi gruppi.
Bene, ragioniamo insieme. Prendiamo le due operazioni classiche, $+$ e $cdot$.
Allora, secondo te $NN, +$ è un gruppo?
Ti devi chiedere:
1. se sommo due naturali ottengo ancora un naturale (=l'operazione è binaria interna)?
2. vale la prop. associativa per il $+$?
3. esiste un elemento neutro (N.B. il primo assioma di Peano asserisce che $0$ è un numero naturale)?
4. per ogni elemento esiste l'inverso (che, proprio perchè siamo in notazione additiva, si potrebbe chiamare l'opposto)?
Bene, dopo aver risposto a queste domande in $NN$ prova a rifartele in $ZZ$. Poi mi dici.
Scusate l'OT-forse- ma la costruzione di $NN$ è davvero fantastica... anche se l'ultimo assioma è fin troppo forte.
E mi chiedevo (speculazione mode on) esiste un teorema, una teoria, insomma una "cosa" matematica che garantisca che le dimostrazioni che si fanno per induzione si possano fare anche per via diretta? ... Mi sembra metamatematica, ma la cosa mi incuriosisce!
E mi chiedevo (speculazione mode on) esiste un teorema, una teoria, insomma una "cosa" matematica che garantisca che le dimostrazioni che si fanno per induzione si possano fare anche per via diretta? ... Mi sembra metamatematica, ma la cosa mi incuriosisce!
[OT]
Che io sappia no. Certo, ci sono casi in cui è facile trovare dimostrazioni dirette (il celebre esempio della somma dei primi $n$ naturali); ma a volte penso sia piuttosto difficile trovare dimostrazioni alternative all'induzione (o che comunque non usino metodi ad essa equivalenti)...
P.S. Per inciso, la costruzione di $NN$ è alla fine tutta assiomatica. Personalmente, preferisco la costruzione di $ZZ$ o di $QQ$ (sono quozienti): sono più algebriche. Alla fine, però, la più affascinante secondo me è quella di $RR$, tramite le sezioni di Dedekind (= l'assioma dell'estremo superiore).
Sono curioso comunque di vedere $CC$ come estensione di campo (cosa che credo vedrò alla fine di Algebra I)...
[/OT]
"mistake89":
Scusate l'OT-forse- ma la costruzione di $NN$ è davvero fantastica... anche se l'ultimo assioma è fin troppo forte.
E mi chiedevo (speculazione mode on) esiste un teorema, una teoria, insomma una "cosa" matematica che garantisca che le dimostrazioni che si fanno per induzione si possano fare anche per via diretta? ... Mi sembra metamatematica, ma la cosa mi incuriosisce!
Che io sappia no. Certo, ci sono casi in cui è facile trovare dimostrazioni dirette (il celebre esempio della somma dei primi $n$ naturali); ma a volte penso sia piuttosto difficile trovare dimostrazioni alternative all'induzione (o che comunque non usino metodi ad essa equivalenti)...
P.S. Per inciso, la costruzione di $NN$ è alla fine tutta assiomatica. Personalmente, preferisco la costruzione di $ZZ$ o di $QQ$ (sono quozienti): sono più algebriche. Alla fine, però, la più affascinante secondo me è quella di $RR$, tramite le sezioni di Dedekind (= l'assioma dell'estremo superiore).
Sono curioso comunque di vedere $CC$ come estensione di campo (cosa che credo vedrò alla fine di Algebra I)...
[/OT]
hai ragione è tutta assionamatica, ma è il primo segno tangibile di costruzione formalmente rigorosa che ho visto!
"mistake89":
hai ragione è tutta assiomatica, ma è il primo segno tangibile di costruzione formalmente rigorosa che ho visto!
Eheh, mai dovuto studiare i Grundlagen di Hilbert, vero?
Però con la teoria dei cardinali e con gli assiomi di ZF si possono costruire i numeri naturali e mostrare che le costruzioni così ottenute rispettano gli assiomi di Peano.
Ti devi chiedere:
1. se sommo due naturali ottengo ancora un naturale (=l'operazione è binaria interna)?
2. vale la prop. associativa per il ?
3. esiste un elemento neutro (N.B. il primo assioma di Peano asserisce che è un numero naturale)?
4. per ogni elemento esiste l'inverso (che, proprio perchè siamo in notazione additiva, si potrebbe chiamare l'opposto)?
ok grazie! cominciando con i numeri $NN$, mi pare che valgono le prime tre proprietà, sia per
le operazioni di composizione interna $+$, e $*x$, ovvero per ogni elemento non esiste l'inverso.
da ciò deduco che non è un gruppo.
ho letto qualcosa altro ed $NN$ con le operazioni appena indicate viene definito monoide commutativo.
è corretto ?
Poi provo con i numeri $ZZ$, adesso devo staccare.
Grazie, a presto!
1. se sommo due naturali ottengo ancora un naturale (=l'operazione è binaria interna)?
2. vale la prop. associativa per il ?
3. esiste un elemento neutro (N.B. il primo assioma di Peano asserisce che è un numero naturale)?
4. per ogni elemento esiste l'inverso (che, proprio perchè siamo in notazione additiva, si potrebbe chiamare l'opposto)?
ok grazie! cominciando con i numeri $NN$, mi pare che valgono le prime tre proprietà, sia per
le operazioni di composizione interna $+$, e $*x$, ovvero per ogni elemento non esiste l'inverso.
da ciò deduco che non è un gruppo.
ho letto qualcosa altro ed $NN$ con le operazioni appena indicate viene definito monoide commutativo.
è corretto ?
Poi provo con i numeri $ZZ$, adesso devo staccare.
Grazie, a presto!
Mi sembra che $NN$ e $ZZ$ con la somma (spesso si sottintende l'operazione perché è ovvia nel contesto ma per i principianti suggerisco di esplicitarla sempre) sono esempi classici.
La domanda se si possa creare una operazione tale da rendere $NN$ un gruppo mi sembra di maggiore interessante. Invito a pensarci...
La domanda se si possa creare una operazione tale da rendere $NN$ un gruppo mi sembra di maggiore interessante. Invito a pensarci...
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