Qualche esercizio sulle permutazioni

[perplesso1]

Salve sto facendo un pò di esercizi, se mi date un parere sullo svolgimento vi ringrazio molto.

1) Si considerino nel gruppo $ S_6 $ le permutazioni

$ f= ((1,2,3,4,5,6),(5,3,2,4,1,6)) $

$ g= ((1,2,3,4,5,6),(2,1,5,4,3,6)) $

decomporre f e g nel prodotto di clicli disgiunti e determinarne i periodi. Provare che $ fg=gf $ e che $ $ è un sottogruppo non normale di $ S_6 $ contenuto propriamente nel suo normalizzante.

Svolgimento
$ f=(15)(23) $ e $ g = (12)(35) $ entrambe hanno periodo 2.

$ fg=((1,2,3,4,5,6),(3,5,1,4,2,6))=gf $

$ = {1,f,g,fg} $ è un gruppo di ordine 4, ma l'unico sottogruppo normale non banale di $ S_6 $ è $ A_6 $ che ha ordine $ {6!}/2 $

Poiche le permutazioni f e g e fg sono pari allora $ <= A_6 $, ma $ |A_6|=2^3 xx 3^2 xx 5 $ pertanto $ A_6 $ possiede un 2-sylow P tale che $ <= P $, ma P ha ordine 8 e $ $ ha ordine 4 e quindi è normale in $ P $ (perchè ha indice 2). Segue $ \subset P \subset N_G() $

[perplesso1]

2) In $ S_8 $ sia $ f = ((1,2,3,4,5,6,7,8),(2,6,3,7,5,1,8,4)) $ Decomporre $ f $ nel prodotto di cicli disgiunti e determinare il periodo di $ f $. Provare che f è pari e che $ $ è contenuto propriamente nel suo centralizzantein $ S_8 $

Svolgimento
$ f= (126)(478)=(12)(16)(47)(48) $ è pari e ha periodo 3. $ $ è abeliano quindi è contenuto nel suo centralizzante. Devo dimostrare che esiste almeno un elemento di $ S_8 $ che permuta con tutti gli elementi di $ $ ma non appartiene a $ $. Basta notare che tutte le pemutazioni di $ $ fissano 3 e 5 allora la permutazione $ (35) $ è disgiunta da (e quindi permutabile con) ogni elemento di $ $

[perplesso1]

3) determinare tutte le classi di coniugio di $ S_5 $

Se $ f $ è una permutazione che fissa $ n $ elementi allora tutte le permutazioni coniugate a $ f $ dovrebbero fissare $ n $ elementi. Se questo è corretto allora le classi di coniugio di $ S_5 $ sono $ [1],[(12)],[(123)],[(1234)], [(12345)] $

[dissonance]

E no, le classi di coniugio sono sbagliate. Secondo me i punti fissi non c'entrano granché. Per esempio \((1\,2)\) e \((1\,3)\) sono coniugate:

\[(1\,3)=(1\,3\,2)(1\,2)(1\,2\,3)\]

ma fissano punti diversi. Invece, due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica: vedi Milne, Group Theory, proposizione 4.30:

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html

[perplesso1]

Ah ok allora mi correggo dovrebbero essere

$ [1] $
$ [(12)] $
$ [(12)(34)] $
$ [(12)(345)] $
$ [(123)] $
$ [(1234)] $
$ [(12345)] $

ne ho mancata qualcuna? Cmq io non intendevo dire che due permutazioni coniugate fissano gli stessi punti ma lo stesso numero di punti o se vuoi spostano lo stesso numero di punti. A me sembra vero dal momento che hanno la stessa struttura ciclica come mi hai fatto giustamente notare

P.S. Molto bello quel libro non lo conoscevo grazie

[dissonance]

Ok, adesso mi ritrovo. Anche sui punti fissi hai ragione.

Sono contento che ti piaccia il libro di Milne. Dai un'occhiata pure alla sua home page perché scrive un sacco di cose e (secondo me) è uno che sa scrivere bene.

[perplesso1]

4) Sia $ f \in S_n $ un ciclo di lunghezza $ k $. Provare che se $ k $ è dispari allora $ f^2 $ è un k-ciclo, se $ k $ è pari allora $ f^2 $ è prodotto di due cicli di lunghezza $ k/2 $

Svolgimento
Se k è pari poniamo $ k=2t $, allora (trascurando gli elementi che vengono fissati)

$ f = ((i_1,i_2,i_3, ... ,i_{2t-1},i_{2t}),(i_2,i_3,i_4, ... ,i_{2t},i_1)) $

per opportuni $ i_1,...,i_{2t} \in {1,2,...,n} $ , quindi

$ f^2 = ((i_1,i_2,i_3, ... ,i_{2t-1},i_{2t}),(i_3,i_4,i_5, ... ,i_1,i_2)) = (i_1i_3i_5...i_{2t-1})(i_2i_4i_6...i_{2t}) $

che sono due cicli di lunghezza $ t=k/2 $

Se k è dispari poniamo $ k=2t+1 $ quindi

$ f = ((i_1,i_2,i_3, ... ,i_{2t},i_{2t+1}),(i_2,i_3,i_4, ... ,i_{2t+1},i_1)) $

$ f^2 = ((i_1,i_2,i_3, ... ,i_{2t},i_{2t+1}),(i_3,i_4,i_5, ... ,i_1,i_2)) = (i_1i_3i_5...i_{2t+1}i_2i_4...i_{2t}) $

che è un ciclo di lunghezza $ 2t+1 = k $